¿Prueba del Teorema de la Densidad usando contradicción?

Acabo de empezar a estudiar Introducción al Análisis Real por primera vez. Lo siento si el siguiente intento contiene errores elementales.

El teorema de la densidad establece que si X y y son números reales con X < y , entonces existe un número racional r tal que X < r < y .

En el libro, usan la propiedad de Arquímedes para probar el teorema, pero estoy pensando en intentar resolverlo usando la contradicción de la siguiente manera:

"Supongamos, por contradicción, que X < y pero para todos los racionales r , r ≥ y o r ≤ X (simplemente la negación de la conclusión buscada).

Caso 1: Si r ≥ y , entonces y es un límite inferior de q . Desde q es ilimitado, entonces este caso es imposible.

Caso 2: Si r ≤ X , entonces X es un límite superior de q . Similarmente, q ser ilimitado implica que esto es imposible.

Caso 3: Si r ≥ y y r ≤ X entonces, desde X < y , r ≥ y > r lo cual es imposible (también tenga en cuenta que los Casos 1 y 2 eliminan el Caso 3 por completo).

Dado que todos los casos son imposibles, el teorema de la densidad debe ser cierto".

¿Es esta una prueba válida? Si no, ¿por qué?

Muchas gracias.

La negación diría para cada racional r , cualquiera r ≥ y o r ≤ X . (No es que todos los racionales sean al menos y o todos son como mucho X .)
Los racionales existen tanto a la izquierda de X y el derecho de y . Por lo tanto tampoco y es un límite inferior ni X es un límite superior para q .

Respuestas (1)

Buen intento, pero no es realmente una prueba válida. Imagina por un segundo que q no tiene racionales entre 1 y 2 . Claramente, 1 no es un límite inferior para q desde 1 / 2 ∈ q y 2 no es un límite superior de q desde 5 ∈ q ...

Para ampliar un poco esta respuesta, la declaración ∀ r ∈ q , ( r ≤ X  o  y ≤ r ) no es la misma afirmación que ( ∀ r ∈ q   r ≤ X ) o ( ∀ r ∈ q   y ≤ r ) .
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