Prueba de la ley de Ampère a partir de la ley de Biot-Savart para distribuciones de corriente tridimensionales

Question

Prueba de la ley de Ampère a partir de la ley de Biot-Savart para distribuciones de corriente tridimensionales

trabajador autodidacta

Supongamos la validez de la ley de Biot-Savart para una distribución tridimensional de corriente:

B (X) = \frac{m_{0}}{4 π} \int_{V} j (y) \times \frac{X - y}{‖ X - y ‖^{3}} d^{3} y

$\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \mathbf{J}(\mathbf{y})\times\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3}\: \mathrm d^3 y$

dónde $\mathbf{J}$ es la densidad de la corriente distribuida en la región $V$ . ¿Cómo podríamos entonces probar la ley de Ampère, en la forma

\oint_{γ} B \cdot d X = m_{0} I_{vinculado} o \nabla \times B = m_{0} j ?

$\oint_{\gamma}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{x}=\mu_0 I_{\text{linked}}\quad\text{or}\quad\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}?$ Preferiría una prueba que use solo cálculo de múltiples variables , sin hacer uso de Dirac.

δ

$\delta$ , que es una herramienta matemática, bastante delicada de usar, que requeriría mucha explicación para que entienda las igualdades donde aparece (soy principiante, como puedes leer en mi perfil, pero solo quiero entender por qué las leyes físicas son derivada de una manera matemáticamente correcta y no me interesan los atajos a menos que conozca su demostración matemática) y cuya utilización a veces se encuentra en los libros de texto me causa enormes problemas cuando el texto no dice, por ejemplo, por qué conmuta signos integrales y de diferenciación, como

\int

$\int$ y

\nabla \times

$\nabla\times$ . De todos modos, estaría muy agradecido a cualquiera que produzca alguna prueba, incluso usando el $\delta$ , pero explicando claramente qué teoremas y resultados matemáticos justifican pasos delicados como aquellos donde los operadores integrales (definidos explícitamente como Riemann, Lebesgue, signos simbólicos para distribuciones u otros) y diferenciales conmutan. Agradezco de corazón a cualquier contestador. Sugerencias de pruebas con tales requisitos que se pueden encontrar en línea o en libros impresos (mejor si no se utiliza el

δ

$\delta$ ) son muy bienvenidos! Agradezco de corazón a cualquier contestador.

PD: Una derivación de la ley de Ampère de la de Biot-Savart está aquí , pero abarca el caso de una distribución lineal de corriente , que es diferente , como pensé que era descaradamente obvio antes de ver votos cerrados "duplicados".

Ensayos : Aunque he estado buscando una prueba rigurosa y comprensible (para mí) durante más de un mes, no he podido encontrar ni producir una. La derivación más común de la ley de Ampère de Biot-Savart utiliza esencialmente los cálculos que se encuentran en el esquema de prueba de Wikipedia, que son incomprensibles para mí: conozco algunas propiedades de Dirac $\delta$ como el hecho de que, si $(J_1,J_2,J_3)=\mathbf{J}\in C^\infty(\mathbb{R}^3)$ es compatible de forma compacta, entonces

- \frac{1}{4 π} \int_{R^{3}} \frac{\nabla_{yo}^{2} j_{i} (yo)}{‖ yo - r ‖} d m_{yo} = j_{i} (r) =: \int d (yo - r) j_{i} (yo) d^{3} yo

$-\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_l^2 J_i(\mathbf{l})}{\|\mathbf{l}-\mathbf{r}\|}\; d\mu_{\mathbf{l}}=J_i(\mathbf{r})=:\int\delta(\mathbf{l}-\mathbf{r})\,J_i(\mathbf{l})\,\mathrm d^3l$ donde la integral de la izquierda es del tipo de Lebesgue, mientras que el signo integral de la derecha es solo una notación simbólica para un funcional lineal, pero tengo tremendos problemas para comprender los pasos que se encuentran en ese esquema de prueba, por las razones que explique aquí en detalle para los posibles respondedores que intentan modificarlo, agregando las explicaciones de los hechos matemáticos utilizados para justificar las conmutaciones entre

∭

$\iiint$ y

\nabla

$\nabla$ y del significado exacto de los signos integrales, para producir una prueba más detallada y completa. Solo para hacer un breve resumen de los problemas que encontré en el esquema de prueba de Wikipedia, como me lo solicitó un comentarista, no entiendo qué significan esos signos integrales (integrales de Lebesgue, signos simbólicos para funcionales o qué más), tampoco Entiendo cuáles son los componentes derivados de

\nabla \times B

$\nabla\times\mathbf{B}$ son: dado que los teoremas como el de Stokes generalmente se aplican al integrar

\nabla \times B

$\nabla\times\mathbf{B}$ , yo creo que son las derivadas ordinarias del cálculo multivariado elemental, pero entonces el

δ

$\delta$ , que es una herramienta de la teoría de distribuciones, aparece en el bosquejo de la demostración , y en la teoría de distribuciones existen derivadas de distribuciones que son una cosa muy diferente, pero se toman, hasta donde yo sé, con respeto a las variables escritas como "variables de integración" en la notación integral de distribución, mientras que, aquí, el esquema de la prueba comienza con

\nabla_{r} \times B

$\nabla_r\times \mathbf{B}$ con

r

$r$ , mientras que la integral aparece con

d^{3} l

$\mathrm{d}^3\mathrm{l}$ ...

david z

He movido todos los comentarios al chat para mantener la publicación limpia. Parecía que algunos de los comentarios habían quedado obsoletos (p. ej., los comentarios que ya se abordaron en las ediciones), pero no pude distinguir fácilmente cuáles estaban obsoletos, así que los moví a todos.

Javier

¿Hay algún motivo en particular por el que haya hecho esta pregunta aquí en lugar de en Math.SE? Siento que obtendrías una mejor respuesta allí.

trabajador autodidacta

@Javier Gracias por tu comentario y sugerencia!!! Bueno, debido a que esas leyes se estudian... en física, por lo tanto, estoy seguro de que estoy en el tema aquí... Ni siquiera estoy seguro de cuánto un estudiante o erudito de matemáticas puras estaría familiarizado con el tema. .

Javier

Si la percepción física fuera lo que quisieras, probablemente no estarías haciendo esta pregunta. Y la mayoría de los matemáticos probablemente hayan oído hablar de las ecuaciones de Maxwell, especialmente los que saben cómo responder a tu pregunta.

david z

Solo como referencia futura, @Self-teachingworker, trate de evitar editar sus publicaciones demasiadas veces. En general, debe guardar sus cambios y, cuando desee editar la publicación, corrija todo lo que pueda encontrar para corregirlo todo a la vez. Idealmente, no debería tener que editar una sola publicación más de 3 o 4 veces.

Respuestas (2)

Prueba de la ley de Ampère a partir de la ley de Biot-Savart para distribuciones de corriente tridimensionales

He movido todos los comentarios al chat para mantener la publicación limpia. Parecía que algunos de los comentarios habían quedado obsoletos (p. ej., los comentarios que ya se abordaron en las ediciones), pero no pude distinguir fácilmente cuáles estaban obsoletos, así que los moví a todos.
¿Hay algún motivo en particular por el que haya hecho esta pregunta aquí en lugar de en Math.SE? Siento que obtendrías una mejor respuesta allí.
@Javier Gracias por tu comentario y sugerencia!!! Bueno, debido a que esas leyes se estudian... en física, por lo tanto, estoy seguro de que estoy en el tema aquí... Ni siquiera estoy seguro de cuánto un estudiante o erudito de matemáticas puras estaría familiarizado con el tema. .
Si la percepción física fuera lo que quisieras, probablemente no estarías haciendo esta pregunta. Y la mayoría de los matemáticos probablemente hayan oído hablar de las ecuaciones de Maxwell, especialmente los que saben cómo responder a tu pregunta.
Solo como referencia futura, @Self-teachingworker, trate de evitar editar sus publicaciones demasiadas veces. En general, debe guardar sus cambios y, cuando desee editar la publicación, corrija todo lo que pueda encontrar para corregirlo todo a la vez. Idealmente, no debería tener que editar una sola publicación más de 3 o 4 veces.

David · Answer 1

Creo que tengo una prueba para ti (aunque puede que no te resulte satisfactoria). En su mayor parte, estoy siguiendo la prueba en la página de wikipedia a la que se vincula. Sin embargo, evito la función delta de dirac. A partir de la ley de Biot-Savart:

B (r) = \frac{m_{0}}{4 π} \int_{V} j (yo) \times \frac{r - yo}{‖ r - yo ‖^{3}} d^{3} yo

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \mathbf{J}(\mathbf{l})\times\frac{\mathbf{r}-\mathbf{l}}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|^3}\: \rm d^3l$

Una de sus críticas a la demostración fue que no se especifica el tipo de integral. Las funciones que necesitamos integrar son integrables de Riemann (y, por lo tanto, también integrables de Lebesgue), por lo que con el fin de elegir pruebas particulares, procederé según la definición de Riemann (aunque esta es una elección arbitraria de mi parte).

Un problema que ya encontramos es que la ley de Biot-Savart es una integral impropia. Resolvemos este problema diciendo que la integral es el valor del principio de Cauchy, que se define en términos de un límite (esto es relevante).

Hago la sustitución:

\frac{r - yo}{‖ r - yo ‖^{3}} = - \nabla_{r} (\frac{1}{‖ r - yo ‖})

$\frac{\mathbf{r}-\mathbf{l}}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|^3}= - \nabla_\mathbf{r} \left( \frac{1}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right)$

B (r) = - \frac{m_{0}}{4 π} \int_{V} j (yo) \times \nabla_{r} (\frac{1}{‖ r - yo ‖}) d^{3} yo

$\mathbf{B}(\mathbf{r})= - \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \mathbf{J}(\mathbf{l})\times \nabla_\mathbf{r} \left( \frac{1}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right)\: \rm d^3l$

Usando una identidad de cálculo vectorial estándar:

B (r) = \frac{m_{0}}{4 π} \int_{V} \nabla_{r} \times (\frac{j (yo)}{‖ r - yo ‖}) d^{3} yo

$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \nabla_\mathbf{r} \times \left( \frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right)\: \rm d^3l$

A continuación, vamos a sacar el operador rotacional fuera de la integral. Dado que tanto el rotacional como la integral se definen en términos de límites, esto equivale a intercambiar el orden de los límites, lo que generalmente es aceptable dados ciertos criterios de convergencia (por ejemplo, convergencia uniforme . Hay algunos teoremas de convergencia diferentes que pueden ser apropiados).

B (r) = \frac{m_{0}}{4 π} \nabla_{r} \times \int_{V} (\frac{j (yo)}{‖ r - yo ‖}) d^{3} yo

$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \nabla_\mathbf{r} \times \int_V \left( \frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right)\: \rm d^3l$

Aplicando rotacional a ambos lados de la ecuación, y la identidad de cálculo vectorial para el rotacional de un rotacional:

\nabla_{r} \times B (r) = \frac{m_{0}}{4 π} \nabla_{r} \int_{V} \nabla_{r} \cdot (\frac{j (yo)}{‖ r - yo ‖}) d^{3} yo - \frac{m_{0}}{4 π} \int_{V} \nabla_{r}^{2} (\frac{j (yo)}{‖ r - yo ‖}) d^{3} yo

$\nabla_\mathbf{r} \times \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \nabla_\mathbf{r} \int_V \nabla_\mathbf{r} \cdot \left( \frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right)\: \rm d^3l - \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \nabla_\mathbf{r}^2 \left( \frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right)\: \rm d^3l$

Asumiré que está familiarizado con el argumento de por qué el primer término integral es 0. Esto deja:

\nabla_{r} \times B (r) = - \frac{m_{0}}{4 π} \int_{V} j (yo) \nabla_{r}^{2} (\frac{1}{‖ r - yo ‖}) d^{3} yo

$\nabla_\mathbf{r} \times \mathbf{B}(\mathbf{r}) = - \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \mathbf{J}(\mathbf{l}) \nabla_\mathbf{r}^2 \left( \frac{1}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right)\: \rm d^3l$

Al evaluar el operador de Laplace, estoy usando la expresión típica para coordenadas esféricas, pero desplazada por $\mathbf{l}$ .

\nabla_{r}^{2} (\frac{1}{‖ r - yo ‖}) = \frac{1}{‖ r - yo ‖^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (‖ r - yo ‖^{2} \frac{\partial}{\partial r} \frac{1}{‖ r - yo ‖})

$\nabla_\mathbf{r}^2 \left( \frac{1}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right) = \frac{1}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|^2 \frac{\partial}{\partial r} \frac{1}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|} \right)$

Notará que esto se evalúa como 0 en todas partes, excepto en $\mathbf{r}=\mathbf{l}$ , donde la expresión no está definida. Dado que la expresión dentro de la integral se evalúa como 0 en todas partes excepto en $\mathbf{r}=\mathbf{l}$ , podemos hacer esta sustitución en el término actual y moverlo fuera de la integral.

\nabla_{r} \times B (r) = - \frac{m_{0}}{4 π} j (r) \int_{V} \nabla_{r}^{2} (\frac{1}{‖ r - yo ‖}) d^{3} yo

$\nabla_\mathbf{r} \times \mathbf{B}(\mathbf{r}) = - \frac{\mu_0}{4\pi} \mathbf{J}(\mathbf{r}) \int_V \nabla_\mathbf{r}^2 \left( \frac{1}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right)\: \rm d^3l$

Para evaluar la integral final, aplicamos el teorema de la divergencia.

\int_{V} \nabla_{r}^{2} (\frac{1}{‖ r - yo ‖}) d^{3} yo = \int_{\partial V} \hat{norte} \cdot \nabla_{r} (\frac{1}{‖ r - yo ‖}) d^{2} yo = - \int_{\partial V} \hat{norte} \cdot (\frac{r - yo}{‖ r - yo ‖^{3}}) d^{2} yo

$\int_V \nabla_\mathbf{r}^2 \left( \frac{1}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right)\: \rm d^3l = \int_{\partial V} \mathbf{\hat n} \cdot \nabla_\mathbf{r} \left( \frac{1}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right) \: \rm d^2l = -\int_{\partial V} \mathbf{\hat n} \cdot \left(\frac{\mathbf{r}-\mathbf{l}}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|^3}\right) \: \rm d^2l$

Debido a que el valor dentro de la integral de volumen es 0 en todas partes excepto en $\mathbf{r}=\mathbf{l}$ , podemos elegir que el volumen sea esféricamente simétrico con respecto a $\mathbf{l}$ , y finalmente evaluar la integral.

\int_{\partial V} \hat{norte} \cdot (\frac{r - yo}{‖ r - yo ‖^{3}}) d^{2} yo = 4 π

$\int_{\partial V} \mathbf{\hat n} \cdot \left(\frac{\mathbf{r}-\mathbf{l}}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|^3}\right) \: \rm d^2l = 4\pi$

Esto nos deja con la ley de Ampere.

\nabla \times B = m_{0} j

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$

Editar: como se señaló, si tuviéramos que usar nuestra definición de integral, la respuesta sería 0. ¿Recuerda que se permite intercambiar límites dados ciertos criterios de convergencia? Si las integrales o integrandos no convergen, entonces intercambiar los límites es un error basado en las formulaciones que he elegido. En este caso, el integrando no converge.

Sin embargo, hemos demostrado que excluyendo el punto divergente, la integral es 0. Podemos dividir nuestra integral original en dos dominios, $V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)$ , y $B(\mathbf{r},\epsilon)$ , que es una bola de radio $\epsilon$ centrado en $\mathbf{r}$ . Ya hemos demostrado que la integral sobre el primer dominio es 0. Con base en esto:

\nabla_{r} \times B (r) = - \frac{m_{0}}{4 π} \nabla_{r} \times \int_{B (r, ϵ)} \nabla_{r} \times (\frac{j (yo)}{‖ r - yo ‖}) d^{3} yo

$\nabla_r \times \mathbf{B}(\mathbf{r})= -\frac{\mu_0}{4\pi} \nabla_\mathbf{r} \times \int_{B(\mathbf{r},\epsilon)} \nabla_\mathbf{r} \times \left( \frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right)\: \rm d^3l$

La densidad de corriente es constante en el límite de $\epsilon \rightarrow 0$ , por lo que podemos sacarlo fuera de la integral. Además, aquí la integral/integrando converge, considerando el valor del principio de Cauchy, por lo que podemos mover todas las derivadas fuera de la integral. Los pasos son básicamente los mismos que antes, excepto que todos los operadores derivados están fuera de la integral. Esto conduce a la siguiente ecuación:

\nabla_{r} \times B (r) = - \frac{m_{0}}{4 π} j (r) \nabla_{r}^{2} \int_{B (r, ϵ)} (\frac{1}{‖ r - yo ‖}) d^{3} yo

$\nabla_\mathbf{r} \times \mathbf{B}(\mathbf{r}) = - \frac{\mu_0}{4\pi} \mathbf{J}(\mathbf{r}) \nabla_\mathbf{r}^2 \int_{B(\mathbf{r},\epsilon)} \left( \frac{1}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right)\: \rm d^3l$

La única diferencia con respecto a nuestra prueba inicial es que el operador laplaciano está fuera de la integral. Aquí se puede evaluar la integral, seguida del operador laplaciano. Esto debería producir $-4\pi$ , terminando la prueba.

Una sutil dificultad para evaluar esta integral, aunque hemos escrito el dominio como $B(\mathbf{r},\epsilon)$ , esto es un abuso de notación. El dominio no es realmente una función de $\mathbf{r}$ , por lo que debe permanecer constante a efectos de evaluar $\nabla_\mathbf{r}^2$ . De lo contrario, obtienes el extraño resultado de que la integral no es una función de $\mathbf{r}$ , y toda la expresión se convierte en 0.

¡Te lo agradezco de corazón! Veo que mi pregunta era comprensible. Si no me equivoco, quieres decir $\mathbf{B}(\mathbf{r})=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)} \nabla_\mathbf{r} \times \left( \frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right) d^3l$ : ¿tengo razón? El primer problema que encuentro es: ¿podrías enunciar el hecho matemático que nos permita ver que
$\underset{ϵ \to 0}{límite} \int_{V ∖ B (r, ϵ)} \nabla_{r} \times (\frac{j (yo)}{‖ r - yo ‖}) d^{3} yo = \nabla_{r} \times (\underset{ϵ \to 0}{límite} \int_{V ∖ B (r, ϵ)} \frac{j (yo)}{‖ r - yo ‖} d^{3} yo) ?$ $\lim_{\epsilon\to 0}\int_{V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)} \nabla_\mathbf{r} \times \left( \frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right) d^3l=\nabla_\mathbf{r} \times\left(\lim_{\epsilon\to 0}\int_{V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|} d^3l\right)?$ veo eso
$\int_{V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)} \nabla_\mathbf{r} \times \left( \frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right) d^3l=\nabla_\mathbf{r} \times\int_{V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}d^3l$ porque si $V\subset\mathbb{R}^n$ es compacto y $f:V\times [a,b]\to \mathbb{R}$ , $(\mathbf{x},t)\mapsto f(\mathbf{x},t)$ es tal que $\frac{\partial f}{\partial t}\in C(V\times[a,b])$ , entonces $\forall t \in [a, b] \frac{d}{d t} \int_{V} F (X, t) d^{norte} X = \int_{V} \frac{\partial F (X, t)}{\partial t} d^{norte} X$ $\forall t\in[a,b]\quad\frac{d}{dt}\int_Vf(\mathbf{x},t)d^nx=\int_V\frac{\partial f(\mathbf{x},t)}{\partial t}d^nx$
Entiende lo que quiero decir con valor principal. Me di cuenta de que cometí algunos errores descuidados. Dado que algunas de las cantidades con las que estoy tratando no convergen, es un error formal intercambiar ciertos límites, por lo que las integrales vuelven a estar mal definidas. Intentaré arreglar esto cuando tenga la oportunidad, y leeré sus comentarios con más detalle.
@Self-teachingDavide Acabo de terminar la prueba. No creo que haya cometido ningún error esta vez. Este problema es un ejemplo específico del uso de una función de Green para resolver una ecuación diferencial, por lo que podría interesarle leer sobre ellos. Este tipo de cosas también se conoce como una función de respuesta de impulso de un sistema lineal. Un resultado integral divergente similar en matemáticas complejas son las relaciones de Kramers-Kronig. Toda esta clase de problemas está estrechamente relacionada con las transformadas de Fourier, que también tienen interesantes problemas de convergencia. Suerte en tu objetivo de autodidacta en matemáticas y ciencias.
¡Gracias de nuevo! El primer paso donde tropiezo es que no sé qué resultado nos permite ver que $\nabla_{r} \times [\underset{ϵ \to 0}{límite} \frac{m_{0}}{4 π} \int_{B (r, ϵ)} \nabla_{r} \times (\frac{j (yo)}{‖ r - yo ‖}) d^{3} yo]$ $\nabla_r \times\left[\lim_{\epsilon\to0}\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{B(\mathbf{r},\epsilon)} \nabla_r \times \left( \frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right)\: \rm d^3l\right]$ $= \underset{ϵ \to 0}{límite} \nabla_{r} \times [\frac{m_{0}}{4 π} \int_{B (r, ϵ)} \nabla_{r} \times (\frac{j (yo)}{‖ r - yo ‖}) d^{3} yo]$ $=\lim_{\epsilon\to0}\nabla_r \times\left[\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{B(\mathbf{r},\epsilon)} \nabla_r \times \left( \frac{\mathbf{J}(\mathbf{l})}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|}\right)\: \rm d^3l\right]$ ¿Podría indicarlo, si es posible con un enlace a una prueba, o con una prueba?
Un teorema que nos permite cambiar esos límites es el teorema de convergencia uniforme. Wikipedia tiene una buena explicación en su página sobre la convergencia uniforme.
De hecho, puedes tomar el rotacional primero, luego dividir tu integral en sus dos dominios, en ese orden. Eso colocará naturalmente ese límite en el exterior, mostrando que los dos límites se conmutan.
Conozco el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, del cual se deriva que si $f:X\times [c,d]\to\mathbb{R}$ , con $X$ medible, y $\forall t\in[c,d]$ la función $\boldsymbol{x}\mapsto f(\boldsymbol{x},t)$ es sumable (es decir $f(-,t)\in L^1(X)$ ), y hay un barrio $B(t_0,\delta)$ de $t_0$ tal que, para casi todos $\boldsymbol{x}\in X$ y todo $t\in B(t_0,\delta)$ , $|\frac{\partial f (\boldsymbol{x},t)}{\partial t}|\le\phi(x)$ dónde $\phi\in L^1(X)$ , entonces
$\frac{d}{d t} \int_{X} F (X, t) d m_{X} = \int_{X} \frac{\partial F (X, t)}{\partial t} d m_{X} .$ $\frac{d}{dt}\int_Xf(\boldsymbol{x},t)d\mu_{\boldsymbol{x}}=\int_X\frac{ \partial f(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}d\mu_{\boldsymbol{x}}.$ En nuestro caso, por ejemplo con nuestro ilimitado $\frac{\partial }{\partial r_2}[J_1\frac{r_2-l_2}{\|\mathbf{r}-\mathbf{f}\|}]$ en lugar de $\frac{\partial f(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}$ , que puede nuestro $\phi$ , tal que $|\frac{\partial f(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}|\le\phi(\mathbf{l})\in L^1(V)$ , ¿ser? ¡¡¡Gracias de nuevo!!!
Estoy publicando aquí lo que publiqué en el chat: me temo que las ecuaciones que escribí no son comprensibles sin LaTeX. No he entendido nada: ¿sabes qué resultado matemático permite conmutar $\nabla$ y $\lim_{\epsilon\to 0}\int_{V\ B(\mathbf{r},\epsilon)}$ ¿O lo buscas como yo? En el primer caso, ¿qué es? De todos modos, una vez conmutados los signos nabla e integral, no entiendo por qué la densidad de corriente es constante en el límite de $\epsilon\to 0$ , por lo que podemos tomarlo fuera de la integral : nunca me he encontrado con esa redacción, lo que supongo que significa que [...]
[...] hay un barrio de $\mathbf{r}$ tal que $\mathbf{J}$ es constante en ese vecindario, que no creo que esté en nuestras suposiciones (en ese caso sería una función constante en $\mathbb{R}^3$ , sin desaparecer en el infinito). Entonces, ¿cómo se calcula el límite de $\nabla_r^2\int_{V\ B(\mathbf{r},\epsilon)} \|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|^{-1} d^3l$ como $-4\pi$ ? [...]
[...] Aquí noto curiosamente que no somos libres de conmutar operadores de límite/integrales y diferenciales porque, como $\epsilon\to 0$ , $\nabla_r^2\int_{V\ B(\mathbf{r},\epsilon)} \|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|^{-1} d^3l\to 0$ ( $\lim_{\epsilon\to 0}0=0$ )...
El argumento para mudarse $\mathbf{J}$ fuera de la integral es que el dominio de nuestra integral tiende a un solo punto. Aunque puede haber pequeñas variaciones en la corriente sobre este dominio, a medida que el dominio se hace más pequeño, $\mathbf{J}$ se aproxima a un solo valor (el valor en ese punto).
No necesita conmutar ningún límite en el paso final. ¿Intentaste evaluar la integral? ¿Qué resultado obtuviste para eso?
¿Qué resultado obtuviste para eso? Con la esperanza de que estoy entendiendo su notación (ha olvidado algunos $\lim_{\epsilon\to 0}$ en algún lugar -que, de nuevo, no he entendido qué teorema nos permite conmutar con los operadores diferenciales en cualquier paso- y algunos " $V\setminus$ " en el fondo de $\int$ ?), veo que (ya que $\epsilon>0$ Creo que podemos aplicar la regla de Leibniz ) [...]
[..] $\nabla_r^2\int_{V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)} \frac{1}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|} d^3l$ $=\int_{V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)} \nabla_r^2\left(\frac{1}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|} \right) d^3l=0$ y por lo tanto $\underset{ϵ \to 0}{límite} \nabla_{r}^{2} \int_{V ∖ B (r, ϵ)} \frac{1}{‖ r - yo ‖} d^{3} yo = \underset{ϵ \to 0}{límite} \int_{V ∖ B (r, ϵ)} \nabla_{r}^{2} (\frac{1}{‖ r - yo ‖}) d^{3} yo = 0$ $\lim_{\epsilon\to 0}\nabla_r^2\int_{V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)} \frac{1}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|} d^3l=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)} \nabla_r^2\left(\frac{1}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|} \right) d^3l=0$ y en este caso podemos escribir $\mathbf{J}(\mathbf{r})$ o cualquier otra cosa antes de la integral pero todavía es 0 (y su límite también).[..]
[...] si tuviste la intención $\lim_{\epsilon\to 0}$ estar después $\nabla_r^2$ , entonces $\int_{V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)} \frac{1}{\|\mathbf{r}-\mathbf{l}\|} d^3l$ (y su límite) dependería de la forma de $V$ (y no estoy seguro de qué teorema nos permitiría escribir $\mathbf{J}(\mathbf{r})$ afuera). Perdóneme si le sugiero que revise su prueba e introduzca notaciones explícitas para los límites, pero creo que sería mucho más claro...
En cuanto a los muchos $\lim/\int$ conmutaciones que usa, si conoce una prueba de ellas (¿usted o está suponiendo que se cumplen y buscando una prueba como yo?), podría estar interesado en responder esto con algo como "si pretende que la integral sea la límite de una integral de Riemann $\lim_{\epsilon\to 0}\int_{V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)}$ , entonces se prueba la legitimidad de la conmutación tal y tal". ¡Muchas gracias de nuevo!
Creo que has entendido muy mal la prueba, así que déjame repasar los pasos con palabras, para asegurarme de que estamos en la misma página. Primero, tomamos el rizo de la ley de Biot-Savart. Debido a problemas de convergencia, subdividimos el dominio de la integral resultante en $V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)$ y $B(\mathbf{r},\epsilon)$ , e intente evaluar cada integral por separado. La integral sobre el dominio $V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)$ evalúa a 0. Al evaluar la integral sobre el dominio $B(\mathbf{r},\epsilon)$ , podemos mover la corriente fuera de la integral. ¿Estos pasos tienen sentido para ti?
¡Gracias! ¿Qué tipo de integral se define en $B(\mathbf{r},\epsilon)$ ? No puede ser à la Riemann porque el integrando no está definido, ni acotado, si no puede ser Lebesgue porque, admitiendo que podemos conmutar todo a nuestro antojo, sería 0...
La integral sigue siendo Riemann. El integrando no está acotado, pero está definido, siempre que no tratemos de mover operadores diferenciales a la integral. Teniendo en cuenta la longitud de mi respuesta, y también este prolongado ir y venir en los comentarios, actualizaré mi respuesta para que sea menos ambigua/confusa, luego no responderé más preguntas en los comentarios. La filosofía de stackexchange es que las preguntas/comentarios sean ampliamente útiles, y estos comentarios no están logrando eso. Creo que mi respuesta es correcta y lo suficientemente clara como para que usted tenga la responsabilidad de intentar comprenderla.
Esa página aborda integrales múltiples de funciones acotadas específicamente. No dice que las integrales múltiples de funciones ilimitadas no estén definidas en el sentido de Riemann. Considere esta página sobre integrales singulares.
Una de las definiciones más utilizadas de integrales de Riemann es esta (por $\mathbb{R}^2$ pero generalizable a $\mathbb{R}^n$ ) y, en ese caso, la integral no existe finita si $f$ es ilimitado porque, en ese caso, un $f(x_k^\ast,y_k^\ast)$ podría elegirse arbitrariamente grande. Las integrales de Riemann impropias se pueden definir como límites de tales integrales, que pensé que eran las integrales que usó al tomar los límites de $\int_{V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)}$ como $\epsilon\to 0$ [...]
[...] (con los derivados en algún lugar antes o después $\lim$ : No he entendido eso de tu respuesta). En cambio, ahora veo que calculas $\int_V=\int_{V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)}+\int_{ B(\mathbf{r},\epsilon)}$ dónde $\int_{ B(\mathbf{r},\epsilon)}$ es una especie de integral de Riemann definida de una manera que no sé [...]
[...] (excluyo que tenga la intención $\int_{ B(\mathbf{r},\epsilon)}$ ser una integral de Riemann impropia $\lim_{\delta\to 0}\int_{ B(\mathbf{r},\epsilon)\setminus B(\mathbf{r},\delta)}$ porque no le veo sentido a separarse $B(\mathbf{r},\epsilon)$ de $V$ y calculando $\int_{V\setminus B(\mathbf{r},\epsilon)}+\lim_{\delta\to 0}(\int_{ B(\mathbf{r},\epsilon)\setminus B(\mathbf{r},\delta)})$ en lugar de $\lim_{\delta\to 0}\int_{V\setminus B(\mathbf{r},\delta)}$ ya que son lo mismo)
tengo la intención de $\int_{ B(\mathbf{r},\epsilon)}$ ser una integral de Riemann impropia $\lim_{\delta\to 0}\int_{ B(\mathbf{r},\epsilon)\setminus B(\mathbf{r},\delta)}$ . El propósito de esto es permitirnos mover la densidad de corriente fuera de la integral, mientras que la integral permanece bien definida en el sentido de Riemann. Tal vez puedas encontrar una forma más elegante de hacerlo sin el límite adicional.

trabajador autodidacta · Answer 2

Espero haber podido encontrar una prueba usando integrales de Lebesgue, donde las diferenciaciones bajo los signos integrales estén justificadas, si no me equivoco, por resultados matemáticos probados.

Dejar $\mathbf{J}:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ ser de clase $C^2 (\mathbb{R}^3)$ y que su soporte esté contenido en el subconjunto compacto acotado $V\subset\mathbb{R}^3$ , $\mu$ -medible según la medida habitual de Lebesgue $\mu$ definido en $\mathbb{R}^3$ .

Usaré el siguiente lema

Dejar $\varphi:V\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ estar acotado y $\mu_{\mathbf{y}}$ -medible, con $\mu_{\mathbf{y}}$ como de costumbre $3$ -medida de Lebesgue dimensional, donde $V$ es acotado y medible (según la misma medida). Definamos, para todos $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$ ,
$Φ (X) := \int_{V} \frac{φ (y)}{‖ X - y ‖} d m_{y}$ $\Phi(\mathbf{x}):=\int_V \frac{\varphi(\mathbf{y})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}$ entonces $\Phi\in C^1(\mathbb{R}^3)$ y para $k=1,2,3$ , $\forall X \in R^{3} \frac{\partial Φ (X)}{\partial X_{k}} = \int_{V} \frac{\partial}{\partial X_{k}} [\frac{φ (y)}{‖ X - y ‖}] d m_{y} = \int_{V} φ (y) \frac{y_{k} - X_{k}}{‖ X - y ‖^{3}} d m_{y}$ $\forall\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3\quad\quad\frac{\partial \Phi(\mathbf{x})}{\partial x_k}=\int_V\frac{\partial}{\partial x_k} \left[\frac{\varphi(\mathbf{y})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}\right]d\mu_{\mathbf{y}}=\int_V \varphi(\mathbf{y})\frac{y_k-x_k}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3}d\mu_{\mathbf{y}}$

lo cual se demuestra aquí .

Definamos

A (X) := \frac{m_{0}}{4 π} \int_{V} \frac{j (y)}{‖ X - y ‖} d m_{y} = \frac{m_{0}}{4 π} \int_{R^{3}} \frac{j (y)}{‖ X - y ‖} d m_{y}

$\mathbf{A}(\mathbf{x}):=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}$ donde notamos que el punto

y = x

$\mathbf{y}=\mathbf{x}$ no impide, por cualquier

x \in R^{3}

$\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$ , la sumabilidad de

y \mapsto ‖ x - y ‖^{- 1}

$\mathbf{y}\mapsto \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^{-1}$ en cualquier subconjunto medible acotado de

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ , como podemos verificar usando coordenadas esféricas alrededor

x

$\mathbf{x}$ y teniendo en cuenta las propiedades de la integral de Lebesgue y su relación con la integral de Riemann.

Por tanto, si definimos $\mathbf{B}(\mathbf{x}):=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \mathbf{J}(\mathbf{y})\times\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3}d\mu_{\mathbf{y}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\nabla_x\times\left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}\right]d\mu_{\mathbf{y}}$ , yo diría, aplicando el lema anterior con $\varphi=\frac{\mu_0}{4\pi}J_i$ ( $i=1,2,3$ ), eso

\nabla \times A = B

$\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}$ y, mediante el uso de una identidad conocida para el rizo del rizo , que se puede aplicar desde este argumento , con

f (z) = ‖ z ‖^{- 1}

$f(z)=\|z\|^{-1}$ y

g = \frac{μ_{0}}{4 π} J_{i}

$g=\frac{\mu_0}{4\pi} J_i$ (

i = 1, 2, 3

$i=1,2,3$ ), demuestra que

A \in C^{2} (R^{3}),

$\mathbf{A}\in C^2(\mathbb{R}^3),$ Vemos, aplicando de nuevo este argumento , que

\nabla_{X} \times B (X) = \frac{m_{0}}{4 π} \nabla_{X} [\nabla_{X} \cdot \int_{R^{3}} \frac{j (y)}{‖ X - y ‖} d m_{y}] - \frac{m_{0}}{4 π} \nabla_{X}^{2} \int_{R^{3}} \frac{j (y)}{‖ X - y ‖} d m_{y}

$\nabla_x\times\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi} \nabla_x\left[\nabla_x\cdot\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}\right]-\frac{\mu_0}{4\pi} \nabla_x^2\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}$

= \frac{m_{0}}{4 π} \nabla_{X} \int_{R^{3}} \frac{\nabla_{y} \cdot j (y)}{‖ X - y ‖} d m_{y} - \frac{m_{0}}{4 π} \int_{R^{3}} \frac{\nabla_{y}^{2} j (y)}{‖ X - y ‖} d m_{y}

$=\frac{\mu_0}{4\pi} \nabla_x\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y\cdot\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}-\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y^2\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}$ donde el primer apéndice es nulo si

\forall x \in R^{3} \nabla_{x} \cdot J (x) = 0

$\forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3\quad\nabla_x\cdot\mathbf{J}(\mathbf{x})=0$ , que se cumple para una corriente estacionaria, y donde creo que se puede probar la segunda adición, análogamente a lo que se hace aquí para una

C^{\infty}

$C^{\infty}$ función de soporte compacto, para ser

- \frac{m_{0}}{4 π} \int_{R^{3}} \frac{\nabla_{y}^{2} j (y)}{‖ X - y ‖} d m_{y} = m_{0} j (X) =: m_{0} \int d (y - X) j (y) d^{3} y

$-\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y^2\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}=\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{x})=:\mu_0\int\delta(\mathbf{y}-\mathbf{x})\mathbf{J}(\mathbf{y})d^3y$ que obviamente no es

- \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{R^{3}} \nabla_{x}^{2} [‖ x - y ‖^{- 1}] J (y) d μ_{y} \equiv 0

$-\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\nabla_x^2[\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^{-1}]\mathbf{J}(\mathbf{y})d\mu_{\mathbf{y}}\equiv\mathbf{0}$ en general; Digo esto para aclarar la notación de un paso utilizado en el esquema de prueba de Wikipedia , que es una derivación muy común de la ley de Ampère de la ley de Biot-Savart, que también aparece en la Electrodinámica clásica de Jackson .

Notemos también, con referencia a ese esquema de prueba , que en el término $\nabla_x\cdot\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}$ podemos diferenciar, utilizando el lema citado anteriormente, con respecto a los componentes de $\mathbf{x}$ bajo el signo integral y por lo tanto

\int_{R^{3}} \frac{\nabla_{y} \cdot j (y)}{‖ X - y ‖} d m_{y} = \nabla_{X} \cdot \int_{R^{3}} \frac{j (y)}{‖ X - y ‖} d m_{y}

$\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y\cdot\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}=\nabla_x\cdot\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}$

= \int_{R^{3}} j (y) \cdot \nabla_{X} [\frac{1}{‖ X - y ‖}] d m_{y}

$=\int_{\mathbb{R}^3}\mathbf{J}(\mathbf{y})\cdot\nabla_x\left[\frac{1} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}\right]d\mu_{\mathbf{y}}$ así que supongo que una posible interpretación de las integrales de ese esquema de prueba es leerlas como integrales de Lebesgue excepto por la integral donde

\nabla^{2} (\frac{1}{| r - l |})

$\nabla^2\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{l}|}\right)$ aparece

Prueba de la ley de Ampère a partir de la ley de Biot-Savart para distribuciones de corriente tridimensionales

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