¿Cómo se pasa de la electrodinámica cuántica a las ecuaciones de Maxwell?

Descargo de responsabilidad : esta respuesta se da desde el punto de vista de la física matemática y es un poco técnica. Cualquier comentario o respuesta adicional desde otros puntos de vista es bienvenido.

El límite clásico de las teorías cuánticas y las teorías cuánticas de campos no es sencillo. Ahora es un tema de investigación muy activo en física matemática y análisis.

La idea es simple: por su propia construcción, la mecánica cuántica debería reducirse a la mecánica clásica en el límite$\hslash\to 0$. No creo que sea necesario entrar en detalles, sin embargo, para QM este procedimiento ahora es bien entendido y riguroso desde un punto de vista matemático.

Para QFT, como QED, la situación es similar, aunque más complicada, y solo se puede manejar matemáticamente en algunas situaciones. Aunque aún no se ha probado, creo que es posible probar la convergencia a la dinámica clásica para un modelo (simple) de QED, que describe cargas rígidas que interactúan con el campo EM cuantificado.

El espacio de Hilbert es$\mathscr{H}=L^2(\mathbb{R}^{3})\otimes \Gamma_s(\mathbb{C}^2\otimes L^2(\mathbb{R}^3))$($\Gamma_s$es el espacio de Fock simétrico). El hamiltoniano describe una carga extendida (con relación carga/masa$1$) junto con un campo EM cuantificado en el calibre de Coulomb:

$$\begin{equation*} \hat{H}=(\hat{p} - c^{-1} \hat{A}(\hat{x}))^2+\sum_{\lambda=1,2}\hslash\int dk\;\omega(k)a^*(k,\lambda)a(k,\lambda)\; , \end{equation*}$$ dónde $\hat{p}=-i\sqrt{\hslash}\nabla$y $\hat{x}=i\sqrt{\hslash}x$son los operadores de momento y posición de la partícula, $a^{\#}(k, \lambda)$son los operadores de aniquilación/creación del campo EM (en las dos polarizaciones) y $\hat{A}(x)$es el potencial vectorial cuantificado $$\begin{equation*} \hat{A}(x)=\sum_{\lambda=1,2}\int \frac{dk}{(2\pi)^{-3/2}}\;c\sqrt{\hslash/2\lvert k\rvert}\;e_\lambda(k)\chi(k)(a(k,\lambda)e^{ik\cdot x}+a^*(k,\lambda)e^{-ik\cdot x})\; ; \end{equation*}$$ con $e_\lambda(k)$vectores ortonormales tales que $k\cdot e_\lambda(k)=0$(implementan el calibre de Coulomb) y $\chi$es la transformada de Fourier de la distribución de carga de la partícula. El operador del campo magnético es $\hat{B}(x)=\nabla\times \hat{A}(x)$y el campo eléctrico (perpendicular) es $$\hat{E}(x)=\sum_{\lambda=1,2}\int \frac{dk}{(2\pi)^{-3/2}}\;\sqrt{\hslash\lvert k\rvert/2}\;e_\lambda(k)\chi(k)i(a(k,\lambda)e^{ik\cdot x}-a^*(k,\lambda)e^{-ik\cdot x})\;$$

$\hat{H}$es un operador adjunto propio en$\mathscr{H}$, si$\chi(k)/\sqrt{\lvert k\rvert}\in L^2(\mathbb{R}^3)$, por lo que existe una dinámica cuántica bien definida$U(t)=e^{-it\hat{H}/\hslash}$. Considere ahora el$\hslash$-estados coherentes dependientes

$$\begin{equation*} \lvert C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2)\rangle=\exp\Bigl(i\hslash^{-1/2}(\pi\cdot x+i\xi \cdot\nabla)\Bigr)\otimes\exp\Bigl(\hslash^{-1/2}\sum_{\lambda=1,2}(a^*_\lambda(\alpha_\lambda)-a_\lambda(\bar{\alpha}_\lambda))\Bigr)\Omega\; , \end{equation*}$$ dónde $\Omega=\Omega_1\otimes\Omega_2$con $\Omega_1\in C_0^\infty(\mathbb{R}^3)$(o en general bastante regular, y con norma uno) y $\Omega_2$el vacío espacial de Fock.

Lo que debería ser al menos posible probar es que ($\alpha_\lambda$es el corresponsal clásico de$\sqrt{\hslash}a_\lambda$, y aparece dentro$E(t,x)$y$B(t,x)$abajo):

$$\begin{gather*} \lim_{\hslash\to 0}\langle C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2),U^*(t)\hat{p}U(t)C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2)\rangle=\pi(t)\\ \lim_{\hslash\to 0}\langle C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2),U^*(t)\hat{x}U(t)C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2)\rangle=\xi(t)\\ \lim_{\hslash\to 0}\langle C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2),U^*(t)\hat{E}(x)U(t)C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2)\rangle=E(t,x)\\ \lim_{\hslash\to 0}\langle C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2),U^*(t)\hat{B}(x)U(t)C_\hslash(\xi,\pi,\alpha_1,\alpha_2)\rangle=B(t,x)\; ; \end{gather*}$$ dónde$(\pi(t),\xi(t),E(t,x),B(t,x))$es la solución de la ecuación clásica de movimiento de una carga rígida acoplada al campo electromagnético : $$\begin{equation*} % \left\{ \begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} \partial_t &B + \nabla\times E=0\\ \partial_t &E - \nabla\times B=-j \end{aligned}\right. \mspace{20mu} \left\{\begin{aligned} \nabla\cdot &E=\rho\\ \nabla\cdot &B=0 \end{aligned}\right.\\ &\left\{\begin{aligned} \dot{\xi}&= 2\pi\\ \dot{\pi}&= \frac{1}{2}[(\check{\chi}*E)(\xi)+2\pi\times(\check{\chi}*B)(\xi)] \end{aligned}\right. \end{aligned} % \right. \end{equation*}$$ con $j=2\pi\check{\chi}(\xi-x)$, y $\rho=\check{\chi}(\xi-x)$(densidad de carga y corriente).

Para resumir: los observables cuánticos evolucionados en el tiempo promediaron sobre$\hslash$-los estados coherentes dependientes convergen en el límite$\hslash\to 0$a las cantidades clásicas correspondientes, desarrolladas por la dinámica clásica .

Con la esperanza de que esto no sea demasiado técnico, esta imagen da una idea precisa de la correspondencia entre la dinámica clásica y la cuántica para un campo EM acoplado a una carga con distribución extendida (las cargas puntuales no se pueden tratar matemáticamente en un nivel completamente riguroso tanto clásicamente como mecánicamente cuánticamente). ).