¿Qué determina si las ecuaciones dinámicas son ecuaciones tensoriales o ecuaciones vectoriales?

La segunda ley de Newton, que es fundamental para la dinámica newtoniana, es una ecuación vectorial

∑ F mi X t mi r norte a yo = metro a

Lo mismo con las ecuaciones de Maxwell en la forma covariante.

Por otro lado, la relatividad general se rige por la ecuación tensorial

R m v − 1 2 R   gramo m v = 8 π GRAMO C 4 T m v

Mis preguntas son:

  1. ¿Hay una razón profunda por la que algunas ecuaciones dinámicas son ecuaciones tensoriales (de segundo rango) y otras son ecuaciones vectoriales?
  2. ¿Es la ecuación de Schrödinger una ecuación escalar?
  3. ¿Existen ecuaciones dinámicas en física que sean ecuaciones tensoriales de rango superior a 2?
  4. ¿Existe un límite superior en el rango más alto que puede tener una ecuación de tensor de física? de algún argumento físico puede ser?
Un tensor es matemáticamente un vector, ya que el conjunto de todos estos tensores forma un espacio vectorial. Un vector también es un tensor, ya que es un mapa lineal del espacio dual en el campo sobre el que se define el espacio vectorial. Así que no parece haber tanta diferencia. Todas son ecuaciones vectoriales. También son todas ecuaciones tensoriales. No estoy publicando esto como una respuesta, ya que sería bastante inteligente. Lo que quiero señalar es que parece estar más interesado en preguntar por qué los espacios vectoriales son diferentes o, alternativamente, por qué los rangos de los tensores son diferentes.
@MarkEichenlaub Sí, ese es el corazón de mi pregunta, por qué algunas ecuaciones dinámicas tienen diferentes rangos y si hay un límite superior en el número de rango
@Mark Eichenlaub Cuando se habla de tensores, el vector es un tensor de rango 1. Es mejor no mezclar esto con "espacios vectoriales" cuyo mejor nombre es "espacio lineal": esos tienen menos estructura.
@Mark Eichenlaub Dije "mejor no", no "prohibido". Por supuesto, los tensores son elementos del espacio lineal. Al decir esto, desechas sus propiedades de transformación, que los convierten en tensores. Mejor lea más sobre tensores.
@Misha Al volver a leer su comentario, ahora veo que solo estaba tratando de indicar que las propiedades de transformación de los tensores son importantes, y que si todo lo que dice sobre ellos es que son elementos de un espacio vectorial, pierde esa estructura importante. Estoy de acuerdo contigo, pero no entendí tu comentario al principio. También creo que es grosero de tu parte decirme que lea más sobre tensores. Ya sé qué son los tensores y ya entiendo la importancia de sus propiedades de transformación. Si lees el comentario más sarcástico que publiqué hace unos minutos y lo estoy eliminando, te pido disculpas por ello.
Las ecuaciones en física se escriben para variables físicas. Este último puede ser formalmente escalar, vectorial, tensorial, etc., dependiendo de cómo sus componentes estén conectados entre sí en diferentes marcos de referencia. Sin tal conexión, las ecuaciones son solo conjuntos de ecuaciones, a menudo acopladas, pero no obligatorias. El número de ecuaciones depende del contenido físico.

Respuestas (1)

  1. El número de variables en un estado de campo. Esta pregunta es como "por qué la masa del electrón es menor que la masa del protón". Sólo porque hay una opción.
  2. Cuando se habla de simetría, es mejor hablar no de la ecuación de Schroedinger, sino de las ecuaciones de Klein-Gordon o Dirac, que son ecuaciones escalares y de espinor (tensor de rango 1/2). La ecuación de Schroedinger es un límite no relativista de un segundo con espín despreciado. Podría darle una mejor imagen que solo una declaración de que es escalar. Porque técnicamente no es invariante.
  3. En estado sólido, el giro 5/2 es algo normal. Las capas d medio llenas de algunos metales se comportan como partículas de 5/2 de giro "en condiciones normales" (hasta que esté interesado en un rango de energía donde el sistema comienza a sentir su naturaleza compuesta). Probablemente, hay situaciones en las que tiene momentos más altos que es mejor tratar de manera efectiva como un todo, sin entrar en detalles de su formación.
  4. Hasta el momento, no se conocen partículas elementales con espín >2. En consecuencia, las ecuaciones para esas partículas tienen un rango inferior a 2. No hay límite superior.
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