Probar que f2+f4+⋯+f2n=f2n+1−1f2+f4+⋯+f2n=f2n+1−1f_2+f_4+\cdots+f_{2n}=f_{2n+1}-1 para números de Fibonacci por inducción

Question

Probar que f2+f4+⋯+f2n=f2n+1−1f2+f4+⋯+f2n=f2n+1−1f_2+f_4+\cdots+f_{2n}=f_{2n+1}-1 para números de Fibonacci por inducción

inducción
Matemáticas
números de fibonacci
prueba de verificación

Richard.R

Dado: $f_1 = f_2 = 1$ y para $n \in\mathbb{N}$ , $f_{n+2} =f_{n+1} + f_n$ .

Pruebalo $f_2 + f_4 + \dots + f_{2n} = f_{2n+1}- 1$ .

¿Comenzarías con la configuración $f_2 + f_4 + \dots + f_{2n}= a_n$ ?

Entonces, para el caso base, dejemos $a_1=1$ LHS $=1$ y derecho $=2-1=1$ entonces el caso base se mantiene.

Entonces la hipótesis inductiva: Supongamos $f_2 + f_4 + \dots + f_{2n} = f_{2n+1}- 1$

$\textbf{NTS}$ : $f_2 + f_4 + \dots + f_{2n} +f_{2n+2} = f_{2n+3}- 1$

Paso inductivo: Por hipótesis inductiva $f_2 + f_4 + \dots + f_{2n}=f_{2n+1}- 1$

Entonces $f_{2n+1}- 1+f_{2n+1}$ = $f_{2n+2}- 1$ . Como se iba a demostrar.

¿Es esto correcto o necesitaba mostrar más álgebra en mi paso inductivo?

jasonm

En su segunda línea, puede simplemente agregar el

- 1

$-1$ hacia el otro lado. El lado izquierdo se derrumba para

f_{2 n + 1}

$f_{2n+1}$ .

izq.

Posible duplicado de math.stackexchange.com/questions/787341/… .

Respuestas (2)

Probar que f2+f4+⋯+f2n=f2n+1−1f2+f4+⋯+f2n=f2n+1−1f_2+f_4+\cdots+f_{2n}=f_{2n+1}-1 para números de Fibonacci por inducción

En su segunda línea, puede simplemente agregar el $-1$ hacia el otro lado. El lado izquierdo se derrumba para $f_{2n+1}$ .
Posible duplicado de math.stackexchange.com/questions/787341/… .

olivier oloa · Answer 1

Sugerencia _ El paso inductivo es bastante

F_{2} + F_{4} + \dots + F_{2 norte} + F_{2 norte + 2} = F_{2 norte + 3} - 1,

$f_2 + f_4 + \cdots + f_{2n}+\color{red}{f_{2n+2}}=\color{red}{f_{2n+3}}- 1,$ entonces usando la hipótesis inductiva, tenemos que probar que

F_{2 norte + 1} - 1 + F_{2 norte + 2} = F_{2 norte + 3} - 1.

$f_{2n+1}-1+\color{red}{f_{2n+2}}=\color{red}{f_{2n+3}}- 1.$ ¿Puedes tomarlo desde aquí?

Daniel W Farlow · Answer 2

Esta es la parte central del argumento inductivo (omitiré los comentarios: intente reconstruir cómo funciona cada paso y comente si algo no está claro):

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{k + 1} F_{2 i} & = \sum_{i = 1}^{k} F_{2 i} + F_{2 k + 2} \\ = (F_{2 k + 1} - 1) + F_{2 k + 2} \\ = (F_{2 k + 2} + F_{2 k + 1}) - 1 \\ = F_{2 k + 3} - 1 \\ = F_{2 (k + 1) + 1} - 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{i=1}^{k+1}f_{2i}&=\sum_{i=1}^kf_{2i}+f_{2k+2}\\[1em] &= (f_{2k+1}-1)+f_{2k+2}\\[1em] &= (f_{2k+2}+f_{2k+1})-1\\[1em] &= f_{2k+3}-1\\[1em] &= f_{2(k+1)+1}-1. \end{align}$

Probar que f2+f4+⋯+f2n=f2n+1−1f2+f4+⋯+f2n=f2n+1−1f_2+f_4+\cdots+f_{2n}=f_{2n+1}-1 para números de Fibonacci por inducción

Richard.R

jasonm

izq.

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olivier oloa

Daniel W Farlow

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