Demostrar que la cuerda de una parábola pasa por un punto fijo

Estoy haciendo las preguntas del final del capítulo sobre parábolas en un libro de matemáticas puras por interés. Estoy luchando con esto:

un punto fijo PAG ( a pag 2 , 2 a pag ) se toma en la parábola y 2 = 4 a X . Se eligen dos puntos Q y R en la parábola tales que las líneas PQ y PR sean perpendiculares. Demostrar que la recta QR pasa por un punto fijo, F, independiente de Q y R, y que PF es normal a la parábola en P.

Empecé calculando las pendientes de PQ, QR y PR:

( 2 pag + q , 2 r + q , − ( pag + q ) 2 ) y luego resolví la ecuación de QR, que resultó ser:

y − 2 a q = 2 r + q ( X − a q 2 ) → y = 2 X + 2 a q r r + q

La pregunta quiere una respuesta independiente de Q y R, así que razoné que necesitaba encontrar una expresión solo en p. Encontré esa expresión, pero incluso entonces no pude encontrar dónde debería estar el punto fijo. Pero incluso entonces, la pregunta solo da el punto fijo F después de que se supone que hemos encontrado que tal punto existe.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Eso PAG F es lo normal en PAG se puede demostrar de forma independiente: en el límite q → PAG línea PAG q es tangente y cuerda q R = PAG R es por construcción perpendicular a él.

Respuestas (1)

Punto PAG en la parábola está ( a pag 2 , 2 a pag ) . decir, coordenadas de q y R son ( a q 2 , 2 a q ) y ( a r 2 , 2 a r ) .

Ecuación de la recta que pasa q R ,

y − 2 a q = 2 a q − 2 a r a q 2 − a r 2 ( X − a q 2 )

simplificando,

(1) ( q + r ) y = 2 X + 2 a q r

Como PAG q y PAG R son perpendiculares,

2 a pag − 2 a q a pag 2 − a q 2 × 2 a pag − 2 a r a pag 2 − a r 2 = − 1

⟹ 4 ( pag + q ) ( pag + r ) = − 1

simplificando, pag 2 + ( q + r ) pag + 4 + q r = 0

Multiplicar por − 2 a y reorganizar para traerlo en la misma forma que ( 1 ) .

(2) − 2 a pag ( q + r ) = 2 a ( pag 2 + 4 ) + 2 a q r

De ( 1 ) y ( 2 ) , Podemos ver eso X = a ( pag 2 + 4 ) , y = − 2 a pag satisface la ecuación de la recta q R . Entonces, independientemente del valor de q y r , punto F ( a ( pag 2 + 4 ) , − 2 a pag ) Miente en q R .

Ecuación del punto de paso normal PAG es,

y − 2 a pag = − pag ( X − a pag 2 )

y puedes comprobarlo F se encuentra en el normal a través PAG .

Para cualquiera que esté interesado, trabajé en un gráfico de Desmos cuando intenté resolver esta pregunta hace un tiempo. Gracias a la respuesta de MathLover y algo que me perdí por completo, el gráfico ahora está completo y puede visualizar el punto fijo si lo desea (jugando con el gráfico al principio estaba convencido de que no existía un punto fijo, pero todo se verifica) : aquí
@FShrike gracias. ese es un buen gráfico interactivo. Por el contrario, cuando la pregunta decía que el punto fijo estaba en la normal, tuve la intuición de que sería el circuncentro del triángulo rectángulo. △ PAG q R pero se hizo difícil usar esa información en el trabajo. Finalmente tuve que abandonar ese enfoque :)
y me tomó un tiempo ver que mi intuición estaba equivocada.
De nada. Encontré la ecuación cuadrática de inmediato y noté que se parecía mucho a la ecuación lineal, pero me perdí la multiplicación por completo. Buen trabajo
De hecho, fue un muy buen trabajo. Yo también exploré el hecho de que PQ es el diámetro de un círculo, pero no llegué a ninguna parte. Ciertamente nunca lo hubiera hecho sin la ayuda de MathLover.
@FShrike vale la pena mirar su gráfico Desmos.
@Steblo gracias!
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