Pregunta sobre las rectas tangentes y el centro de una elipse

Question

Pregunta sobre las rectas tangentes y el centro de una elipse

geometría
Matemáticas
secciones cónicas

una papa dos papas

Dejar $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =1$ ser una elipse. Dejar $A = (x_0,y_0)$ ser un punto fuera de una elipse. Dibuja dos líneas que tocan una elipse y denota dos puntos tangentes por $D_1 = (x_1,y_1),D_2 = (x_2,y_2)$ . Mi pregunta es que si dibujo una línea que pasa por $A$ y el punto medio de $D_1$ y $D_2$ es decir, $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$ entonces pasa el origen.

Esta es la imagen que encontré en google. Creo que es correcto, pero no sé cómo demostrarlo. Ya me sé la ecuación de una recta que pasa $D_1$ y $D_2$ es $\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2} =1$ . Entonces, lo que necesito mostrar es

\frac{y_{0}}{X_{0}} (\frac{X_{1} + X_{2}}{2}) = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}

$\frac{y_0}{x_0}\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) = \frac{y_1+y_2}{2}$ Pero no sé cómo llegar más lejos. ¿Cómo puedo hacer esto? ¿Hay alguna prueba geométrica simple de esto?

Respuestas (3)

Pregunta sobre las rectas tangentes y el centro de una elipse

Hosam Hajeer · Answer 1

Hosam Hajeer

También puede escalar la elipse ya sea horizontal o verticalmente para que se convierta en un círculo, luego la imagen del segmento $D_1D_2$ se convierte en una cuerda en este círculo, por lo que claramente el segmento de línea que conecta la imagen de $A$ al origen pasa por el punto medio de esta cuerda. Y dado que las proporciones de las distancias se conservan al escalar, se sigue que en la figura original (la elipse y sus tangentes), la línea que conecta $A$ al origen pasa por el centro de $D_1 D_2$ .

una papa dos papas

Es interesante. Pero no creo que 'las proporciones de las distancias se conservan al escalar' sea una declaración trivial. ¿Puedo pedir alguna prueba de esa afirmación?

Hosam Hajeer

Suponer

R

$R$ Está encendido

A B

$AB$ , tal que

\frac{A R}{A B} = t

$\dfrac{AR}{AB} = t$ , entonces

R = A + t (B - A)

$R = A + t (B - A)$ . Aplicando la escala, que es lineal, se sigue que la imagen de

R

$R$ , llámalo

R^{'}

$R'$ es dado por:

R^{'} = A^{'} + t (B^{'} - A^{'})

$R' = A' + t (B' - A')$ , por eso,

\frac{A^{'} R^{'}}{A^{'} B^{'}} = t = \frac{A R}{A B}

$\dfrac{ A' R' }{A' B'} = t = \dfrac{AR}{AB}$ .

Pauca inteligente

es.wikipedia.org/wiki/…

Z Ahmed · Answer 2

La ecuación de la recta $D_1 D_2$ que es la cuerda de contacto de la elipse es

\frac{X X_{0}}{a^{2}} + \frac{y y_{0}}{b^{2}} = 1 (1)

$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1~~~~~~~(1)$

D_{1} D_{2}

$D_1D_2$ es también un acorde cuyo punto medio es

(h, k)

$(h,k)$ , dónde

h = (x_{1} + x_{2}) / 2, k = (y_{1} + y_{2}) / 2

$h=(x_1+x_2)/2, k=(y_1+y_2)/2$ , tenemos

\frac{X h}{a^{2}} + \frac{y k}{b^{2}} = \frac{h^{2}}{a^{2}} + \frac{k^{2}}{b^{2}} = pag (2)

$\frac{xh}{a^2}+\frac{yk}{b^2}=\frac{h^2}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}=p~~~~(2)$ Compara (1) y (2) para obtener

x_{0} = p h

$x_0=ph$ y

y_{0} = k p

$y_0=kp$ entonces obtenemos

\frac{X_{1} + X_{2}}{X_{0}} = \frac{y_{1} + y_{2}}{y_{0}}

$\frac{x_1+x_2}{x_0}=\frac{y_1+y_2}{y_0}$

Lo siento ecuación. (2) estaba un poco mal, lo he corregido ahora. para una cónica $S=0$ la ecuación de la cuerda cuyo punto medio es $(x;,y')$ es dado por $T=S'$ dónde $T$ es la ecuación de la tangente en $(x',y')$ .
Supongamos que el círculo es $S(x,y)=x^2+y^2-a^2=0$ si encuentras la ecuación de su cuerda cuyo punto medio es $(x',y')$ viene a $xx'+yy'=x'^2+y'^2$ que puede escribirse de manera más general como $T=S'$ dónde $T=xx'+yy'-a^2$ y $S'=S(x',y')$ . Para cónicas es generalmente cierto.

marwalix · Answer 3

Empecemos con la ecuación de la recta. $D_1D_2$ , es decir

\frac{X X_{0}}{a^{2}} + \frac{y y_{0}}{b^{2}} = 1

${xx_0\over a^2}+{yy_0\over b^2}=1$

$D_1(x_1,y_1)$ y $D_2(x_2,y_2)$ son los puntos de intersección de esa recta y la elipse. Entonces satisfacen también la ecuación de la elipse.

Sustitución y multiplicación por $y_0^2/b^2$ nos da eso $x_i/a$ son las dos soluciones de la cuadrática

X^{2} (\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} + \frac{X_{0}^{2}}{a^{2}}) - 2 X \frac{X_{0}}{a} + 1 - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 0

$X^2\left({y_0^2\over b^2}+{x_0^2\over a^2}\right)-2X{x_0\over a}+1-{y_0^2\over b^2}=0$

y de ahí deducimos

\frac{X_{1} + X_{2}}{2} = \frac{X_{0}}{\frac{X_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}}

${x_1+x_2\over 2}={x_0\over {x_0^2\over a^2}+{y_0^2\over b^2}}$

Del mismo modo, la sustitución y la multiplicación por $x_0^2/a^2$ nos da eso $y_i/b$ son las dos soluciones de la cuadrática

Y^{2} (\frac{X_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}) - 2 Y \frac{y_{0}}{b} + 1 - \frac{X_{0}^{2}}{a^{2}} = 0

$Y^2\left({x_0^2\over a^2}+{y_0^2\over b^2}\right)-2Y{y_0\over b}+1-{x_0^2\over a^2}=0$

y por lo tanto

\frac{y_{1} + y_{2}}{2} = \frac{y_{0}}{\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} + \frac{X_{0}^{2}}{a^{2}}}

${y_1+y_2\over 2}={y_0\over {y_0^2\over b^2}+{x_0^2\over a^2}}$

La recta que pasa por el origen y el punto medio de $D_1D_2$ tiene la siguiente ecuacion $x_0y-y_0x=0$ y pasa a través $M(x_0,y_0)$

Pregunta sobre las rectas tangentes y el centro de una elipse

una papa dos papas

Respuestas (3)

Hosam Hajeer

una papa dos papas

Hosam Hajeer

Pauca inteligente

Z Ahmed

una papa dos papas

Z Ahmed

una papa dos papas

Z Ahmed

marwalix

Propiedad de las elipses que involucran normales en los extremos de una cuerda focal y el punto medio de esa cuerda

Demuestre que las asíntotas de una hipérbola son sus tangentes en los puntos infinitos

Prueba de geometría de hipérbola

Prueba geométrica de por qué los puntos medios de las cuerdas paralelas de una parábola se encuentran en la misma línea paralela al eje

Elipse inscrita en un cuadrilátero irregular

Una propiedad especial cuando una línea recta y una parábola se intersecan

¿Necesita una explicación de qué es exactamente una directriz y un foco?

Dada el área del sector y un ángulo inicial desde el foco de una elipse, encontrar el ángulo necesario para obtener el área.

Encontrar un lugar geométrico de puntos

Demostrar que la cuerda de una parábola pasa por un punto fijo