limx→1−((1−x)∑∞n=1(xn1+xn))limx→1−((1−x)∑∞n=1(xn1+xn)) \lim_{x\to 1^ -} \left( (1-x) \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{x^n}{1+x^n}\right) \right) [cerrado]

primero calculamos $P=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1+x^n}$para $x<1$, es

$$\sum_{n=1}^{\infty} x^n(1+x^n)^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty} x^n(1-x^n+x^{2n}+\cdots)=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{i+1} x^{in}=\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} x^{in}$$ pero $\sum_{n=1}^{\infty} x^{in}=\frac{x^i}{1-x^i}$, por lo tanto $$P=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-1)^{i+1}x^i}{1-x^{i}} \implies (1-x)\cdot P=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-1)^{i+1}x^i}{1+x+\cdots +x^i}$$ Entonces $$\lim_{x \to 1^{-}} (1-x)P =\sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-1)^{i+1}}{i}$$ Tenga en cuenta que para $Q=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-1)^{i+1}}{i}$, $$Q= \sum_{i=1}^{\infty} \int_{-1}^{0} x^{i-1}dx=\int_{-1}^{0} \left(\sum_{i=1}^{\infty} x^{i-1} \right)dx=\int_{-1}^{0} \frac{dx}{1-x}=\ln 2$$ Así que la respuesta final es $\ln 2$.

Aquí hay otro punto de vista. Escribe $f(t) = \frac{1}{1+t}$. Entonces

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1+x^n}(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} f(x^n)(x^n - x^{n+1})$$

puede verse como una especie de suma de Riemann de $f(t)$sobre $[0, 1]$. Por ejemplo, la siguiente figura compara el área bajo la gráfica de $y = f(t)$y los rectángulos que representan la suma anterior cuando $x = 0.95$:

Entonces esperamos que esto converja a la integral $\int_{0}^{1} f(t) \, \mathrm{d}t = \log 2$cuando $x \to 1^-$. Esta observación conduce al siguiente enfoque: Para cada $0 < x < 1$y $n \geq 1$, tenemos

$$x \int_{x^n}^{x^{n-1}} f(t) \, \mathrm{d}t \leq x f(x^n) (x^{n-1} - x^n) = f(x^n)(x^n - x^{n+1}) \leq \int_{x^{n+1}}^{x^n} f(t) \, \mathrm{d}t.$$

Sumando ambos lados sobre $n=1,2,3,\dots$, obtenemos

$$x \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \leq (1-x) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1+x^n} \leq \int_{0}^{1} f(t) \, \mathrm{d}t.$$

Haciendo $x \to 1^-$, el teorema de compresión da

$$\lim_{x \to 1^-} (1-x) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1+x^n} = \int_{0}^{1} f(t) \, \mathrm{d}t = \log 2.$$