¿Existen propiedades especiales conocidas de un número ubicado entre primos gemelos?

Sobre la secuencia que buscas, diría que posiblemente sea más interesante considerar los cocientes cuando se dividen por 6. El resultado es la secuencia OEIS A002822 .

No estoy seguro de si esto cuenta como "especial", pero parece haber una forma de asociar biyectivamente A002822 a los pares primos gemelos. De hecho, encontré algunos consejos en otras preguntas aquí, por lo que simplemente puede verificarlos. En ¿Probar la siguiente afirmación equivale a probar la conjetura de los primos gemelos? puede encontrar un puntero a un artículo de arXiv de 2011, y en Acerca de un artículo de Gold & Tucker (que caracteriza los primos gemelos) encontrará un enlace a un pequeño artículo de 20 años anterior que también prueba la misma relación biyectiva y deriva un similar fórmula (incluso si es difícil de distinguir debido a su$G(n)$función).

Mi formulación preferida del teorema es la siguiente:

Cualquier par primo gemelo mayor que$(3;5)$es de la forma$(6z-1;6z+1)$dónde$z\inℕ$y satisface el siguiente sistema de desigualdades:

$$6xy+5x+5y+4 \neq z$$ $$6xy+7x+5y+6 \neq z$$ $$6xy+7x+7y+8 \neq z$$ para todos$(x,y) \in (\mathbb{N}\cup\{0\})^2$; y a la inversa, para cualquier número entero$z$, el par$(6z-1;6z+1)$es un par primo gemelo.

En respuesta a su pregunta contextual, puede ver arriba que algunas personas intentaron encontrar una prueba usando este teorema. Y regularmente se publican intentos similares en arXiv. En aras de citar un ejemplo, mencionaré este: Twin Prime Sieve .