Los fotones tienen Spin 1 - Mecánica cuántica relativista de Franz Gross y teoría de campos

Tengo una pregunta con respecto a la derivación del espín 1 para los fotones en la mecánica cuántica relativista y la teoría de campos de Franz Gross .

De las páginas 50 a 56, intenta deducir "cómo este [giro 1] se produce naturalmente en la imagen de partículas". Toma el operador de momento angular para el campo EM y lo separa en dos partes, una asociada con la transformación de los índices del campo (espín) y la otra con la transformación de los argumentos del campo (orbital).

Luego expresa esto en términos de operadores de creación y aniquilación en una base de polarización (base de helicidad) y afirma que la expresión por sí sola muestra que el fotón tiene espín uno. Simplemente no entiendo cómo se supone que la forma de la función implica ese resultado. Repetiré sus pasos a continuación para la posteridad:

Usando la notación de producto ordenado normal (los términos : :), el operador de momento angular se reduce primero (a través de algunas expansiones no notables) a:

(2.57)

$$\Omega^i = -i\int d^3r: \frac{\partial A^b}{\partial t} (L^iA^b-i\epsilon_{ibl}A^l):$$

A lo que sigue una breve explicación de las relaciones de conmutación resultantes (hecho para mostrar que este operador es de hecho el generador de rotaciones infinitesimales para la teoría del campo EM). Más importante aún, Gross luego descompone el operador en sus componentes orbital y de espín, como se mencionó anteriormente:

(2.60)

$$\Omega^i_{spin} = -\int d^3r: \frac{\partial A^j}{\partial t} \epsilon_{ijk}A^k):$$ $$\Omega^i_{L} = -i\int d^3r: \frac{\partial A^j}{\partial t} L^iA^j:$$

Este operador de espín se expresa entonces "en términos de las a y las$^{\dagger}$'s, usando vectores de polarización reales para simplificar",

$$\Omega^i_{spin} = -\int d^3r \frac{\epsilon_{ijk}}{2L^3}\sum_{n,\alpha ; n',\alpha'}^{} -\frac{i\omega_n}{\sqrt{\omega_n\omega_{n'}}} \epsilon^{\alpha j}_{n}\epsilon^{\alpha' k}_{n'} \times \Big\{a_{n,\alpha}a_{n',\alpha'}e^{-i(k_n+k_{n'})\cdot x}-a^{\dagger}_{n,\alpha}a^{\dagger}_{n',\alpha'}e^{i(k_n+k_{n'})\cdot x}-a^{\dagger}_{n,\alpha}a^{}_{n',\alpha'}e^{i(k_n-k_{n'})\cdot x}+a^{\dagger}_{n',\alpha'}a^{}_{n,\alpha}e^{-i(k_n-k_{n'})\cdot x}\Big\}$$

$$= i\sum_{n,\alpha ,\alpha'}^{} \frac{\epsilon_{ijk}}{2} \Big\{\epsilon^{\alpha j}_{n}\epsilon^{\alpha' k}_{-n}\Big[a_{n,\alpha}a_{-n,\alpha'}e^{-2i\omega_nt}-a^{\dagger}_{n,\alpha}a^{\dagger}_{-n,\alpha'}e^{2i\omega_nt}\Big]+\Big[\epsilon^{\alpha j}_{n}\epsilon^{\alpha' k}_{n}-\epsilon^{\alpha' j}_{n}\epsilon^{\alpha k}_{n}\Big]a^{\dagger}_{n,\alpha'}a_{n,\alpha}\Big\}.$$

"El primer término en el paréntesis {} es simétrico en j y k. Esto se puede ver cambiando n a -n y$\alpha$a$\alpha'$. Por lo tanto, es cero cuando se contrata con$\epsilon_{ijk}$. El segundo término es claramente antisimétrico en j y k y requiere$\alpha \neq \alpha'$. Por eso"

$$\Omega_{spin} = i\sum_{n,\alpha\neq\alpha'}^{} \Big( \epsilon^{\alpha}_n\times\epsilon^{\alpha'}_n\Big)a^{\dagger}_{n,\alpha'}a_{n,\alpha}$$

"Recordar que$\epsilon^1\times\epsilon^2 = \hat{k}$. Por lo tanto, realizando la suma sobre$\alpha, \alpha'$da"

$$\Omega_{spin} = i\sum_{n}^{}\hat{k}_n\Big[a^{\dagger}_{n,2}a_{n,1} -a^{\dagger}_{n,1}a_{n,2}\Big]$$

"Esta no es una forma conveniente porque no se da en términos de operadores numéricos. Podemos expresar$\Omega_{spin}$en términos de operadores numéricos mediante la introducción de una nueva base de polarización denominada base circular o helicidad. Si$\epsilon^1 \to \hat{x}$,$\epsilon^2 \to \hat{y}$, y$\hat{k} \to \hat{z}$, luego la base de polarización circular, en la que los estados tienen una proyección de espín definida a lo largo de$\hat{z}$, es definido por"

(2.61)

$$\epsilon^+ = spin in +\hat{k}direction = -\frac{1}{\sqrt{2}}(\epsilon^1+i\epsilon^2)$$ $$\epsilon^- = spin in -\hat{k}direction = \frac{1}{\sqrt{2}}(\epsilon^1-i\epsilon^2)$$

"Nótese la aparición del signo menos en la definición de$\epsilon^+$; esta es una convención de fase estándar utilizada en la construcción de los armónicos esféricos$Y_{lm}$para$l = 1$y$m = \pm 1$de$\hat{x}$y$\hat{y}$. Entonces definimos$a_{\pm}$, los operadores de aniquilación correspondientes a estos estados circularmente polarizados, por la relación (suprimir n por ahora)..."

$$\epsilon^1a_1+\epsilon^2a_2 =\epsilon^+a_++\epsilon^-a_-$$ Esto da $$a_1=-\frac{1}{\sqrt{2}}(a_+-a+-)$$ $$a_2=-\frac{i}{\sqrt{2}}(a_++a+-)$$ $$[a_+,a_+^{\dagger}]=[a_-,a_-^{\dagger}] =1$$ $$[a_+,a_-^{\dagger}]=[a_-,a_+^{\dagger}] =0$$ "Por eso," $$a_2^{\dagger}a_1-a_1^{\dagger}a_2 = -i[a_+^{\dagger}a_+-a_-^{\dagger}a_-]$$ "Y, restaurando n"

(2.62)

$$\Omega_{spin} =\sum_{n}^{}\hat{k}[a_{n,+}^{\dagger}a_{n,+}-a_{n,-}^{\dagger}a_{n,-}]$$

"El operador de espín ahora se ha expresado en términos de operadores numéricos para fotones con una helicidad definida. Tenga en cuenta que es una suma vectorial de términos que apuntan en el$+\hat{k}$dirección para la helicidad positiva y en el$-\hat{k}$dirección de la helicidad negativa.

En general, la helicidad de una partícula es la proyección de su espín a lo largo de la dirección de su movimiento, y si una partícula masiva tiene espín s, su helicidad puede tomar cualquier valor entero entre s y -s. La dirección del movimiento es simplemente una dirección especial en el espacio, y una partícula masiva de espín s tiene 2s+1 estados que siempre se pueden expandir en términos de estados que tienen una proyección de espín definida a lo largo de un eje elegido. Sin embargo, la ecuación (2.62) muestra que los fotones no tienen esta propiedad. Muestra que el fotón tiene espín 1, pero que de tres estados posibles ($\pm1 or 0$), solo pueden ocurrir estados de helicidad +1 y -1. La ausencia de helicidad cero se debe a la naturaleza transversal del campo, que a su vez se debe a la ausencia de una masa de fotones en reposo".

Uf, eso fue largo. De acuerdo. Entonces, con la sustitución de la base de la helicidad, puedo apreciar que la expansión del operador final en términos de operadores de creación y aniquilación solo se suma$\hat{k}$, y que por lo tanto solo se permiten 2 valores de helicidad. Mi problema es que Gross establece directamente que la forma de la ecuación 2.62 debería decirme que estos valores de helicidad son 1 y -1, y que s = 1. No puedo ver esto. Desde mi punto de vista limitado, parece que la ecuación nos limita a dos helicidades, pero no veo el momento s = 1 definitivo.

¿Alguno de ustedes ve esto? ¿Puedes explicarlo? Espero que al proporcionar el trabajo de referencia por adelantado esté facilitando la respuesta a mi pregunta. No entiendo la deducción del momento angular de giro de la forma del operador. Agradecería cualquier y toda ayuda.