¿Por qué, para una partícula de espín-½, los posibles resultados de medir la proyección del espín en cualquier dirección son iguales?

La pregunta es "¿Por qué los posibles resultados son los mismos para todas las direcciones?"

¡Ocurre también para los observables de la física clásica! QM no importa aquí, la idea verdaderamente relevante es el hecho de que en un sistema inercial la física parece ser isotrópica .

En la práctica, no es posible distinguir físicamente diferentes direcciones con experimentos físicos .

Para ilustrar este fenómeno físico (definitivamente no trivial general) , suponga que tiene un sistema físico (clásico, cuántico, relativista, cuántico-relativista) en un cierto estado$s$. Si fijas una dirección, di$x$, y medir alguna propiedad del sistema físico a lo largo de esa dirección, digamos$A_x$, y luego eliges otra dirección$x'$con la propiedad física correspondiente$A_{x'}$(obtenido al rotar de$x$a$x'$los instrumentos utilizados para medir$A_x$), siempre es posible cambiar el estado del sistema de$s$Para algo$s'$, para que el resultado de la medición de$A_{x'}$es el mismo que el resultado de la medición de$A_{x}$.

Cambiando todos los estados posibles y todos los resultados posibles, verá que el conjunto de valores alcanzables por$A_x$deben ser los alcanzables por$A_{x'}$.

Este razonamiento se puede aplicar a los componentes del momento, en física clásica y cuántica, pero también a los componentes del espín o del momento angular. No importa si los valores son discretos o continuos. Esta diferencia, en cambio, depende fuertemente de la física utilizada, clásica o cuántica. Pero esta no era tu pregunta si entendí correctamente.

ANEXO . El valor del giro de un electrón a lo largo de una dirección dada depende del estado. Si el Estado está preparado como$|z+\rangle$, el resultado de una medición de$S_z$es siempre$+\hbar /2$(el análogo sucede midiendo el giro a lo largo$-z$), mientras que es$\pm \hbar /2$a lo largo de las otras direcciones con probabilidades dependiendo del estado. Sin embargo, los valores posibles , cambiando el estado de todas las formas posibles , son los mismos para todas las direcciones:$\pm \hbar/2$

La proyección de espín de dos valores es una característica (cuántica) de las partículas de espín-1/2. Es como encontrar una partícula "aquí" o "allá" en una física clásica: debe estar en algún lugar con solo dos posibilidades, como en dos canales. Por cierto, dividir en dos canales tiene un significado físico directo, vea el experimento de Stern-Gerlach en wikipedia.

Aunque ya veo dos respuestas, agregaré la mía.

La situación, como se describe en el póster original, es tal para una partícula de espín ½ masivo y no es simétrica en este sentido para una partícula de espín ½ sin masa (algunas personas dicen que este caso se llama propiamente "helicidad", pero es una cuestión de terminología). ¿Por qué eso importa? Porque una partícula masiva tiene su marco de referencia del centro de masa donde está en reposo. En este marco, se pueden aplicar rotaciones de coordenadas espaciales y ver qué sucederá con el giro. Verá que SO(3) de rotaciones espaciales de punto fijo está doblemente cubierto por SU(2), un subgrupo de U(2), el grupo de simetría natural de un sistema cuántico de dos estados. Algunas transformaciones del espacio-tiempo corresponden a transformaciones del espacio de Hilbert (ℂ² en este caso) de estados de espín; Puedes ver ejemplos en las respuestas anteriores. No hay una diferencia esencial entre estosx , y , z u otros ejes; es por eso que ves esencialmente lo mismo cada vez, aunque las medidas (es decir, los observables) son diferentes y no conmutan. En general, una representación de grupos de espacio-tiempo en los espacios de estados cuánticos es la forma en que se describe el espín.

La cláusula de que la partícula debe estar en reposo en el marco de referencia de todos estos x , y , z es esencial. Para movimientos lentos (con respecto a la velocidad de la luz), es posible que no se vea la diferencia (y, de hecho, la teoría del espín de Pauli la ignoró), pero para una partícula que se mueve rápidamente, medir su espín (en el marco del laboratorio) a lo largo de su velocidad no es lo mismo que medir su espín perpendicular a su velocidad.

Tiene que ver con el acto de elegir un eje preferido a lo largo del cual medir la proyección de giro. Al observarlo, fuerza a la partícula a un estado específico con una proyección dada a lo largo de eso (digamos, el$z$), pero ahora la proyección a lo largo de los otros ejes es indeterminada, debido a la superposición en la que ahora se encuentra la partícula. Tienen un valor, es incierto hasta que realmente lo mide, pero luego arruina la certeza de su primera medición.

Lo que voy a decir es un poco abusivo/engañoso, pero puede ayudarte a visualizar las cosas.

Técnicamente hablando, la longitud al cuadrado del vector de espín de una partícula de espín$s$es$\bar{S}^2=s(s+1)$(Asumo$\hbar=1$), que para partículas de medio espín es$\frac{3}{4}$. La contribución de la$z$el componente es$S_z=(\pm\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$, por lo que el resto debe provenir de los otros componentes. Específicamente, dado que las partículas de la mitad del espín solo pueden tener proyecciones de más o menos la mitad (tal como dijiste), mientras que el valor medio de los otros componentes puede desaparecer, el valor medio de su cuadrado debe ser$\frac{1}{4}$, por lo que los tres componentes juntos dan la longitud total.