Propagador de Feynman con parámetro general ξξ\xi

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Propagador de Feynman con parámetro general ξξ\xi

Física
propagador
Feynman-diagramas
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Física_matemáticas

Hey, según mis notas en mi libro PS, parece que he resuelto esto en algún momento en el pasado, pero parece que esta vez no puedo obtener los índices correctos. Entonces, al derivar el propagador de fotones de Feynman que incluye un parámetro general $\xi$ (ver PS ecuación 9.58 página 297) PA encontrar la solución de la siguiente ecuación

\begin{matrix} (9.57b) & [- k^{2} {gramo}_{m v} + \underset{- x}{\underset{⏟}{(1 - ξ^{- 1})}} k_{m} k_{v}] {\tilde{D}}_{F}^{v ρ} = i d_{m}^{ρ} \end{matrix}

${\large[}-k^2g_{\mu\nu}+\underbrace{(1-\xi^{-1})}_{-\chi}k_\mu k_\nu{\large]}\tilde{D}_F^{\nu\rho} = \mathrm{i}\delta_\mu^{\rho}\tag{9.57b}$

Intento reescribir esto como

[{gramo}_{m v} + x \frac{k_{m} k_{v}}{k^{2}}] {\tilde{D}}_{F}^{v ρ} = \frac{- i}{k^{2} + i 0} d_{m}^{ρ}

${\large[}g_{\mu\nu}+\chi \frac{k_\mu k_\nu}{k^2}{\large]}\tilde{D}_F^{\nu\rho} = \frac{-\mathrm{i}}{k^2+\mathrm{i}0}\delta_\mu^{\rho}$

y luego tratar de encontrar el inverso de

[{gramo}_{m v} + x \frac{k_{m} k_{v}}{k^{2}}]

${\large[}g_{\mu\nu}+\chi \frac{k_\mu k_\nu}{k^2}{\large]}$

usando la identidad para matrices

\begin{matrix} (⋆) & (A + B)^{- 1} = A^{- 1} - \frac{1}{1 + gramo} A^{- 1} B A^{- 1} \end{matrix}

$\tag{$\star$}(A+B)^{-1} = A^{-1} - \frac{1}{1+g}A^{-1}BA^{-1}$

dónde $g= \mathrm{tr}(BA^{-1})$ ( ver esta respuesta MSE ).

Como se sugiere en esta publicación Phys.SE relacionada, uno puede simplemente escribir la expresión más general (respetando las simetrías de la teoría) para $\tilde{D}_F^{\mu\nu} = Ag^{\mu\nu}+B k^\mu k^\nu$ , inserte en la ecuación $(9.57\mathrm{b})$ y encontrar las funciones $A$ y $B$ .

Pero queda la pregunta de si se puede usar un teorema del álgebra lineal como $(\star)$ ¿arriba? ¿Qué rastro se debe usar en ese caso, etc.?

La respuesta es, por cierto, el conocido propagador de fotones de Feynman.

\begin{matrix} (9.58) & {\tilde{D}}_{F}^{m v} (k) = \frac{- i}{k^{2} + i 0} [{gramo}^{m v} - (1 - ξ) \frac{k^{m} k^{v}}{k^{2}}] . \end{matrix}

$\tilde{D}_F^{\mu\nu}(k) = \frac{-\mathrm{i}}{k^2+\mathrm{i}0} {\large[}g^{\mu\nu}-(1-\xi) \frac{k^\mu k^\nu}{k^2}{\large]}.\tag{9.58}$

qmecanico

Posible duplicado: physics.stackexchange.com/q/137577/2451

Respuestas (2)

Propagador de Feynman con parámetro general ξξ\xi

jamals · Answer 1

Si bien se ha proporcionado una respuesta correcta, basada en el teorema de Ken Miller sobre la inversión de sumas de matrices, también se puede resolver mediante la fórmula más específica de Sherman-Morrison .

Afirma bajo ciertas condiciones que,

(A_{m v} + {tu}_{m} V_{v})^{- 1} = A^{m v} - \frac{A^{m λ} {tu}_{λ} {tu}_{σ} A^{σ v}}{1 + V_{m} A^{m v} {tu}_{v}} .

$(A_{\mu\nu} + U_\mu V_\nu)^{-1} = A^{\mu\nu} - \frac{A^{\mu\lambda}U_\lambda U_\sigma A^{\sigma \nu}}{1 + V_\mu A^{\mu\nu}U_\nu}.$

Para simplificar las cosas, redefinimos,

{\tilde{k}}^{m} := \frac{\sqrt{x}}{| k |} k^{m}

$\tilde{k}^\mu := \frac{\sqrt{\chi}}{|k|}k^\mu$

por lo que debemos encontrar,

(η_{m v} + {\tilde{k}}_{m} {\tilde{k}}_{v})^{- 1} = η^{m v} - \frac{{\tilde{k}}^{m} {\tilde{k}}^{v}}{1 + \tilde{k} \cdot \tilde{k}} = η^{m v} - \frac{x}{1 + x} \frac{k^{m} k^{v}}{k^{2}}

$(\eta_{\mu\nu} + \tilde k_\mu \tilde k_\nu)^{-1} = \eta^{\mu\nu} - \frac{\tilde k^\mu \tilde k^\nu}{1+\tilde k \cdot \tilde k} = \eta^{\mu\nu} - \frac{\chi}{1+\chi} \frac{k^\mu k^\nu}{k^2}$

y notando que,

\frac{x}{1 + x} |_{x = \frac{1}{ξ} - 1} = 1 - ξ

$\frac{\chi}{1+\chi} \bigg\vert_{\chi = \frac{1}{\xi}-1} = 1 - \xi$

recuperamos el resultado deseado,

η^{m v} + (ξ - 1) \frac{k^{m} k^{v}}{k^{2}} .

$\eta^{\mu\nu} + (\xi-1) \frac{k^\mu k^\nu}{k^2}.$

tBuLi · Answer 2

Claramente de su pregunta anterior, identificamos

A_{m v} = {gramo}_{m v}, B_{m v} = x \frac{k_{m} k_{v}}{k^{2}}

$A_{\mu \nu} = g_{\mu \nu}, B_{\mu \nu} = \chi \frac{k_\mu k_\nu}{k^2}$

Como la métrica de Minkowski es su propia inversa, sabemos que

(A_{m v})^{- 1} = A^{m v} = {gramo}^{m v}

$(A_{\mu \nu})^{-1} = A^{\mu \nu} = g^{\mu \nu}$

Entonces encontramos que

gramo = t r (B A^{- 1}) = t r (B_{m v} A^{v ρ}) = B_{m v} A^{v m} = x \frac{k_{m} k_{v} {gramo}^{v m}}{k^{2}} = x

$g = \mathrm{tr}(B A^{-1}) = \mathrm{tr}(B_{\mu\nu} A^{\nu \rho} ) = B_{\mu\nu} A^{\nu \mu} = \chi \frac{k_\mu k_\nu g^{\nu \mu}}{k^2} = \chi$

Y

(A_{m v} + B_{m v})^{- 1} = A^{m v} - \frac{1}{1 + gramo} A^{m ρ} B_{ρ σ} A^{σ v}

$(A_{\mu \nu} + B_{\mu \nu})^{-1} = A^{\mu \nu} - \frac{1}{1+g} A^{\mu \rho} B_{\rho \sigma} A^{\sigma \nu}$

Aquí he introducido nuevos índices $\rho$ y $\sigma$ para asegurarse de que las multiplicaciones de matrices se lleven a cabo de la manera correcta. Enchufando todo, encontramos

{({gramo}_{m v} + x \frac{k_{m} k_{v}}{k^{2}})}^{- 1} = {gramo}^{m v} - \frac{x}{1 + x} \frac{k^{m} k^{v}}{k^{2}}

$\left(g_{\mu \nu} + \chi \frac{k_\mu k_\nu}{k^2} \right)^{-1} = g^{\mu \nu} - \frac{\chi}{1+\chi} \frac{k^\mu k^\nu}{k^2}$

Reescribir esto en la forma de (9.58) se deja como ejercicio para el lector ;).

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Respuestas (2)

jamals

tBuLi

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