Propagación de errores

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Propagación de errores

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Estaba pasando por un problema al encontrar un error en la medición de la distancia focal, si las distancias del objeto y la imagen se dan con los errores apropiados. Encontré dos métodos para encontrar el error en diferentes lugares y quiero saber cuál es más preciso y por qué.

Un método se basa en el hecho de que los errores fraccionarios se suman y el segundo es diferencial puro. Escribí ambas soluciones y las publiqué a continuación.

JEB

Intentar otra vez. Suponga errores en

u

$u$ y

v

$v$ no están correlacionados, lo que significa:

(d f)^{2} = (f_{u} d u)^{2} + (f_{v} d v)^{2}

$(df)^2 = (f_udu)^2 + (f_vdv)^2$

Respuestas (1)

Propagación de errores

Intentar otra vez. Suponga errores en $u$ y $v$ no están correlacionados, lo que significa: $(df)^2 = (f_udu)^2 + (f_vdv)^2$

robar · Answer 1

Los dos enfoques dan resultados idénticos, pero ninguna de las cosas que ha escrito es correcta para la propagación de errores.

En su enfoque de la izquierda, ha realizado correctamente el cálculo diferencial.

En su enfoque de la derecha, tiene un error de signo en el término como $1/(u+v)$ :

\begin{aligned} d F & = \frac{\partial F}{\partial tu} d tu + \frac{\partial F}{\partial v} d v \\ = (\frac{v}{tu + v} - \frac{tu v}{(tu + v)^{2}}) d tu + (\frac{tu}{tu + v} - \frac{tu v}{(tu + v)^{2}}) d v \\ = F (\frac{1}{tu} - \frac{1}{tu + v}) d tu + F (\frac{1}{v} - \frac{1}{tu + v}) d v \\ = F^{2} \frac{d tu}{{tu}^{2}} + F^{2} \frac{d v}{v^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm df &= \frac{\partial f}{\partial u} \mathrm du + \frac{\partial f}{\partial v} \mathrm dv \\ &= \left( \frac v{u+v} - \frac{uv}{(u+v)^2} \right) \mathrm du + \left( \frac u{u+v} - \frac{uv}{(u+v)^2} \right) \mathrm dv \\ &= f\left( \frac 1u - \frac1{u+v} \right)\mathrm du + f\left( \frac 1v - \frac1{u+v} \right)\mathrm dv \\&= f^2 \frac{\mathrm du}{u^2} + f^2 \frac{\mathrm dv}{v^2} \end{align}$

y en tu pregunta inicial usaste algo más que $f=20/3\rm\,cm$ . Esta es una buena manera de verificar que no ha cometido (o ha cometido) un error tonto: los resultados deben ser algebraicamente idénticos.

Sin embargo, al propagar incertidumbres, debe agregar incertidumbres independientes en cuadratura, no linealmente. La mayoría de los textos sobre análisis de errores discuten esto; aquí hay dos .

He corregido la parte sobre el uso de un valor incorrecto, pero aún no entiendo su punto sobre el error de señal. Si me indica un buen texto, lo revisaré, pero realmente no puedo ver cómo ambos métodos darán el mismo resultado.
@JEB Es cierto que los errores fraccionarios siempre crecen al multiplicar o dividir, y es cierto que los errores absolutos siempre crecen al sumar y restar. Sin embargo, es posible que el error fraccionario se reduzca cuando se trata de sumas. (El ejemplo canónico es el promedio, donde la incertidumbre fraccionaria en un promedio es menor que la incertidumbre fraccionaria en cualquier medición individual). Ese es el caso aquí: el análisis correcto da $\mathrm df/f \approx 0.7\% < \mathrm du/u$ .

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Análisis de errores que implican errores aleatorios

Pregunta simple sobre propagación de error/incertidumbre

¿La incertidumbre de una regla métrica?

Incertidumbre de medida de la cantidad, que es función de otras dos cantidades

Pregunta sobre cómo encontrar el error relativo

¿Son realistas las incertidumbres superiores a los valores medidos?

¿Cómo citar la respuesta cuando el error es menor que las cifras significativas de datos?

pregunta sobre la incertidumbre

¿Cómo saber si el error está en una ley o en la incertidumbre de la medida?

Cálculo de la incertidumbre en el resultado final (combinación de incertidumbres)