Cálculo de la incertidumbre en el resultado final (combinación de incertidumbres)

Question

Cálculo de la incertidumbre en el resultado final (combinación de incertidumbres)

El Grúfalo

Estoy luchando para determinar la incertidumbre en $F$ por lo que coincidiría con la respuesta del libro de texto.

El enunciado del problema es: Una fuerza F se obtiene usando la ecuación: $F = \frac{mv^2}{2\pi(x_2 - x_1)}$ . Las lecturas tomadas fueron: $m = 54.0 \pm 0.5\ \mathrm{kg}$ , $v = 6.3 \pm 0.2\ \mathrm{ms}^{-1}$ , $x_2 = 4.7 \pm 0.1\ \mathrm{m}$ , $x_1 = 3.9 \pm 0.1\ \mathrm{m}$ . Calcule el valor de F y determine la incertidumbre en su valor.

Cálculo de la fuerza: $F = \frac{(54.0\ \mathrm{kg}) \times (6.3\ \mathrm{ms}^{-1})^2}{2 \pi \times (4.7\ \mathrm{m} - 3.9\ \mathrm{m})} \approx 426.388\ \mathrm{N} = 430\ \mathrm{N} \text{(to 2 s.f.)}$ . Esto está de acuerdo con la respuesta del libro de texto.

Ahora deja $X = x_2 - x_1$ . Entonces $X = 4.7\ \mathrm{m} - 3.9\ \mathrm{m} = 0.8\ \mathrm{m}$ . La incertidumbre en $X$ es $\delta X = \sqrt{(\delta x_2)^2 + (\delta x_1)^2} = \sqrt{(0.1\ \mathrm{m})^2 + (0.1\ \mathrm{m})^2} \approx 0.1414\ \mathrm{m}$ . De este modo, $X=0.8 \pm 0.1\ \mathrm{m}$ y la fórmula se convierte en $F = \frac{mv^2}{2\pi \times X} = \frac{1}{2 \pi} \frac{m v v}{X}$ . Esto significa que ahora puedo usar otra fórmula estándar para calcular la incertidumbre en $F$ :

$\delta F = \sqrt{(\frac{\delta m}{m})^2 + (\frac{\delta v}{v})^2 + (\frac{\delta v}{v})^2 + (\frac{\delta X}{X})^2}$ . y con valores $\delta F = \sqrt{(\frac{0.5\ \mathrm{kg}}{54.0\ \mathrm{kg}})^2 + 2 \times (\frac{0.2\ \mathrm{ms}^{-1}}{6.3 \ \mathrm{ms}^{-1}})^2 + (\frac{0.1414\ \mathrm{m}}{0.8\ \mathrm{m}})^2} \approx 0.133$ o alrededor del 13%.

Pero el maldito libro de texto dice que es 40% y cita la respuesta como $430 \pm 180\ \mathrm{N}$ .

Probé algunos cálculos con varios valores dentro de la incertidumbre y mi resultado siempre estuvo dentro del 13 % (o alrededor de 60 N) de 430 N, tal como lo esperaba.

¿Dónde me he equivocado?

Ron Maimón

Es probable que el libro utilice estimaciones de incertidumbre de la regla empírica, mientras que usted utiliza estimaciones más precisas. Tira el libro.

El Grúfalo

@RonMaimon lo extraño es que la regla general que tengo en este libro respalda mis cálculos. Dicen que las incertidumbres porcentuales deben sumarse y si hay un cuadrado de un valor (como la velocidad en este caso), entonces dicha incertidumbre porcentual debe sumarse dos veces. Si agrego incertidumbres porcentuales para

m

$m$ ,

v

$v$ ,

x_{1}

$x_1$ y

x_{2}

$x_2$ Obtengo alrededor del 12% como resultado, que está bastante cerca de mi cálculo. Claramente tenían algo en mente cuando escribieron 40% y me encantaría saber qué "reglas generales" han usado, ya que podría ser útil en el examen.

Respuestas (2)

Cálculo de la incertidumbre en el resultado final (combinación de incertidumbres)

Es probable que el libro utilice estimaciones de incertidumbre de la regla empírica, mientras que usted utiliza estimaciones más precisas. Tira el libro.
@RonMaimon lo extraño es que la regla general que tengo en este libro respalda mis cálculos. Dicen que las incertidumbres porcentuales deben sumarse y si hay un cuadrado de un valor (como la velocidad en este caso), entonces dicha incertidumbre porcentual debe sumarse dos veces. Si agrego incertidumbres porcentuales para $m$ , $v$ , $x_1$ y $x_2$ Obtengo alrededor del 12% como resultado, que está bastante cerca de mi cálculo. Claramente tenían algo en mente cuando escribieron 40% y me encantaría saber qué "reglas generales" han usado, ya que podría ser útil en el examen.

Ron Maimón · Answer 1

Tanto usted como el libro cometieron un error, pero el error del libro es grande y un error de principio, mientras que su error es simplemente aritmética.

Primero, debe tener una idea de los errores involucrados: el error de masa y el error v son insignificantes, porque son del orden de uno o dos por ciento, mientras que el error en la diferencia en x, valor .8m, es .14m, como usted calculó, es alrededor del 15%. Esto es algo que debe tener en cuenta: cuando resta cantidades aproximadamente iguales, los errores se amplifican, porque el error fraccionario es lo que importa, y la cantidad se vuelve más pequeña.

En tu expresión,

${\delta F\over F} = \sqrt{(\frac{0.5\ \mathrm{kg}}{54.0\ \mathrm{kg}})^2 + 2 \times (\frac{0.2\ \mathrm{ms}^{-1}}{6.3 \ \mathrm{ms}^{-1}})^2 + (\frac{0.1414\ \mathrm{m}}{0.8\ \mathrm{m}})^2} \approx 0.133$

No obtuviste la respuesta correcta. La respuesta es casi exactamente igual a la raíz cuadrada del último término, o

\frac{d F}{F} = \frac{.14}{.8} = .18

${\delta F\over F} = {.14 \over .8} = .18$

El error real es del 18%, no del 13%. Los términos restantes hacen que esto sea un poco más grande, pero no mucho. Cometiste un error de aritmética, que podría haberse evitado observando que el último término, el error en $\Delta X$ , es el único importante.

Pero el libro hizo la siguiente estimación del error con daño cerebral: tomaron los dos valores de X y trataron el error más/menos como algo que se suma o resta a la cantidad para encontrar el valor más grande y más pequeño que puede tener. Luego tomaron los valores "límite" sumando/restando .1 de cada uno, para obtener un valor mayor/menor $\Delta X$ :

Δ X_{s} = (4.7 - .1) - (3.9 + .1) = .6

$\Delta X_s = (4.7 - .1) - ( 3.9 + .1 ) = .6$

Δ X_{yo} = (4.7 + .1) - (3.9 - .1) = 1.0

$\Delta X_l = (4.7 + .1) - ( 3.9 - .1) = 1.0$

Esto da un error del 40%. Este procedimiento es incorrecto en principio, porque los errores en los dos valores de x son independientes y es muy poco probable que se alineen para ser exactamente opuestos. La estimación correcta es que el error es del 18%, tanto para $\Delta X$ y la respuesta final.

Helder Vélez · Answer 2

ver Ejemplo de medición de resistencia de WP

solución usando ' aritmética de intervalo WP '
con el paquete sagemath (servidor gratuito y en línea en http://sagenb.org )

dM=0.5  
dv=0.2  
dx=0.1  
M=RIF((54-dM,54+dM))  
v=RIF((6.3-dv,6.3+dv))  
x2=RIF((4.7-dx,4.7+dx))  
x1=RIF((3.9-dx,3.9-dx))
F=M*v^2/(x2-x1)/2/math.pi  

F0=F.center()  
df=F0-F.lower()  
df/F0

da el resultado 0.182284511784079

18% es la respuesta

Un problema similar de PSE se resolvió con Euler Toolbox (gratuito) que también ha implementado la aritmética de intervalos .

Cálculo de la incertidumbre en el resultado final (combinación de incertidumbres)

El Grúfalo

Ron Maimón

El Grúfalo

Respuestas (2)

Ron Maimón

colin k

Helder Vélez

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