Pregunta simple sobre propagación de error/incertidumbre

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Pregunta simple sobre propagación de error/incertidumbre

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Dwagg

Estoy atascado en una pregunta aparentemente simple sobre la propagación de errores. Digamos que medimos repetidamente la velocidad de una partícula y estimamos que la incertidumbre en la velocidad medida es del 10 por ciento. ¿Cuál es la incertidumbre en la energía cinética de la partícula? (La incertidumbre en la masa es despreciable.)

(Esta fue una pregunta de práctica del GRE de física. La respuesta es 20 por ciento).

La fórmula que conozco para la propagación del error es, por $f = AB$ ,

{(\frac{σ_{F}}{F})}^{2} = {(\frac{σ_{A}}{A})}^{2} + {(\frac{σ_{B}}{B})}^{2} .

$\left( \frac{\sigma_f}{f}\right)^2 = \left( \frac{\sigma_A}{A}\right)^2 + \left( \frac{\sigma_B}{B}\right)^2 .$

Entonces, si no me equivoco, la incertidumbre se define $\left( \frac{\sigma_f}{f}\right)$ , resulta que

Δ k mi = \sqrt{2} Δ v

$\Delta KE = \sqrt{2} \Delta v$

dónde $\Delta KE$ es la incertidumbre en la energía cinética y $\Delta v$ es la incertidumbre en la velocidad. Pero esto da $14$ por ciento. ¿Alguien podría señalar mi error?

j murray

Eso solo es cierto si

A

$A$ y

B

$B$ no están correlacionados. Presumiblemente estás dejando

A

$A$ y

B

$B$ ambos representan velocidad, en cuyo caso están perfectamente correlacionados.

Respuestas (2)

Pregunta simple sobre propagación de error/incertidumbre

Eso solo es cierto si $A$ y $B$ no están correlacionados. Presumiblemente estás dejando $A$ y $B$ ambos representan velocidad, en cuyo caso están perfectamente correlacionados.

j murray · Answer 1

Para ampliar mi comentario, su ecuación se cumple solo si $A$ y $B$ no están correlacionados. Más generalmente, si $F$ es una función de variables no correlacionadas $A$ y $B$ , entonces

(d F)^{2} = {(\frac{\partial F}{\partial A} d A)}^{2} + {(\frac{\partial F}{\partial B} d B)}^{2}

$(\delta F)^2 = \left(\frac{\partial F}{\partial A}\delta A\right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial B} \delta B\right)^2$

si te conectas $F=AB$ , entonces encuentras que

{(d F)}^{2} = (B \cdot d A)^{2} + (A \cdot d B)^{2}

$\left(\delta F\right)^2 = (B\cdot \delta A)^2 + (A \cdot \delta B)^2$ o

{(\frac{d F}{F})}^{2} = {(\frac{d A}{A})}^{2} + {(\frac{d B}{B})}^{2}

$\left(\frac{\delta F}{F}\right)^2 = \left(\frac{\delta A}{A}\right)^2 + \left(\frac{\delta B}{B}\right)^2$

En tu caso, $A$ y $B$ son iguales, por lo que son exactamente lo contrario de no correlacionados. En su caso, lo adecuado sería considerar $F$ ser una función de una sola variable, y simplemente dejar

d F = | \frac{\partial F}{\partial A} | d A

$\delta F = \left|\frac{\partial F}{\partial A}\right| \delta A$

\frac{d F}{F} = | \frac{1}{F} \frac{\partial F}{\partial A} | d A

$\frac{\delta F}{F} = \left|\frac{1}{F}\frac{\partial F}{\partial A}\right| \delta A$

Para responder a la pregunta en un nivel más profundo, modelamos cantidades medidas experimentalmente como variables aleatorias continuas, con nuestras incertidumbres experimentales correspondientes a sus desviaciones estándar.

Dejar $X$ ser una variable aleatoria con valor esperado $\mathbb{E}[X]=\mu_X$ y varianza $Var(X)\equiv \mathbb{E}\big[ (X-\mu_X)^2\big]=\sigma_X^2$ , y deja $g$ ser una función de $X$ . podemos ampliar $g$ en una serie de Taylor alrededor $\mu_X$ :

gramo (X) = gramo (m_{X}) + {gramo}^{'} (m_{X}) \cdot (X - m_{X}) + \frac{1}{2} {gramo}^{″} (m_{X}) (X - m_{X})^{2} + \dots

$g(X) = g(\mu_x) + g'(\mu_X)\cdot (X-\mu_X) + \frac{1}{2}g''(\mu_X) (X-\mu_X)^2 + \ldots$

Truncando después del término lineal, escribimos

gramo (X) = gramo (m_{X}) + {gramo}^{'} (m_{X}) \cdot (X - m_{X})

$g(x) = g(\mu_X) + g'(\mu_X)\cdot (X-\mu_X)$

Ahora podemos calcular la media y la varianza de $g$ :

mi [gramo (X)] = gramo (m_{X}) + {gramo}^{'} (m_{X}) mi [X - m_{X}] = gramo (m_{X}) + {gramo}^{'} (m_{X}) \cdot (m_{X} - m_{X}) = gramo (m_{X})

$\mathbb{E}[g(X)] = g(\mu_X) + g'(\mu_X)\mathbb{E}[X-\mu_X] = g(\mu_X) + g'(\mu_X)\cdot (\mu_X-\mu_X) = g(\mu_X)$

V a r (gramo (X)) = mi [(gramo (X) - gramo (m_{X}))^{2}] = ({gramo}^{'} (m_{X}))^{2} \cdot mi [(X - m_{X})^{2}] = {(\frac{d gramo}{d X} \cdot σ_{X})}^{2}

$Var(g(X)) = \mathbb{E}\big[\big(g(X)-g(\mu_X)\big)^2\big] = \big(g'(\mu_X)\big)^2 \cdot \mathbb{E}\big[(X-\mu_X)^2\big] = \left(\frac{dg}{dX}\cdot \sigma_X\right)^2$

Aquí es de donde proviene la fórmula de propagación de errores de una sola variable. Pero ahora, considere una función $F$ de dos variables $X$ y $Y$ , con los respectivos medios $\mu_X,\mu_Y$ y variaciones $\sigma_X^2,\sigma_Y^2$ y covarianza

C o v (X, Y) = mi [(X - m_{X}) \cdot (Y - m_{Y})]

$Cov(X,Y) = \mathbb{E}\big[(X-\mu_X)\cdot(Y-\mu_Y)\big]$

Taylor expande $F$ de orden lineal:

F (X, Y) = F (m_{X}, m_{Y}) + \frac{\partial F}{\partial X} (X - m_{X}) + \frac{\partial F}{\partial Y} (Y - m_{Y})

$F(X,Y) = F(\mu_X,\mu_Y) + \frac{\partial F}{\partial X}(X-\mu_X) + \frac{\partial F}{\partial Y} (Y-\mu_Y)$

Repitiendo los pasos anteriores, la media de $F$ es

mi [F (X, Y)] = F (m_{X}, m_{Y})

$\mathbb{E}\big[F(X,Y)\big] = F(\mu_X,\mu_Y)$

La variación, sin embargo, desarrolla una ligera sutileza. Darse cuenta de

{(F (X, Y) - F (m_{X}, m_{Y}))}^{2} = {(\frac{\partial F}{\partial X})}^{2} (X - m_{X})^{2} + {(\frac{\partial F}{\partial Y})}^{2} (Y - m_{Y})^{2} + 2 \frac{\partial F}{\partial X} \frac{\partial F}{\partial Y} (X - m_{X}) (Y - m_{Y})

$\left(F(X,Y)-F(\mu_X,\mu_Y)\right)^2 = \left(\frac{\partial F}{\partial X}\right)^2(X-\mu_X)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial Y}\right)^2(Y-\mu_Y)^2 + 2\frac{\partial F}{\partial X}\frac{\partial F}{\partial Y}(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)$

Resulta que

V a r (F (X, Y)) = {(\frac{\partial F}{\partial X} σ_{X})}^{2} + {(\frac{\partial F}{\partial Y} σ_{Y})}^{2} + 2 \frac{\partial F}{\partial X} \frac{\partial F}{\partial Y} C o v (X, Y)

$Var\big(F(X,Y)\big) = \left(\frac{\partial F}{\partial X} \sigma_X\right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial Y}\sigma_Y\right)^2 + 2\frac{\partial F}{\partial X} \frac{\partial F}{\partial Y} Cov(X,Y)$

Si $X$ y $Y$ no están correlacionados, entonces $Cov(X,Y)=0$ , y así volvemos a obtener nuestra agradable fórmula simple. Sin embargo, si $Cov(X,Y)\neq 0$ , tenemos que tenerlo en cuenta.

robar · Answer 2

Su regla funciona para la multiplicación y división de incertidumbres independientes no elevadas a ninguna potencia interesante. La regla más general es

(d F)^{2} = {(\frac{\partial F}{\partial A} d A)}^{2} + {(\frac{\partial F}{\partial B} d B)}^{2} + \dots

$(\mathrm d f)^2 = \left( \frac{\partial f}{\partial A} \mathrm dA \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial B} \mathrm dB \right)^2 + \cdots$

Si los términos de la suma fueran lineales en lugar de sumarse en cuadratura, esta sería simplemente la derivada total de $f$ ; la suma en cuadratura explica el hecho de que no es probable que todos los errores no correlacionados contribuyan en la misma dirección.

Tienes, con la energía cinética habitual $K=\frac12 mv^2$ ,

\begin{aligned} (d k)^{2} & = {(\frac{\partial k}{\partial v} d v)}^{2} + {despreciable}^{2} \\ d k & = metro v d v = \frac{2 k}{v} d v \\ \frac{d k}{k} & = 2 \frac{d v}{v} \end{aligned}

$\begin{align} (\mathrm dK)^2 &= \left( \frac{\partial K}{\partial v} \mathrm dv \right)^2 + \text{negligible}^2 \\ \mathrm dK &= mv\ \mathrm dv = \frac{2K}{v} \mathrm dv \\ \frac{\mathrm dK}{K} &= 2\frac{\mathrm dv}{v} \end{align}$

El factor de dos surge porque $v$ es al cuadrado.

¿Por qué escribiste insignificante? Veo que no hay término B, así que en lugar de escribir cero escribiste insignificante. ¿Puedes dar más detalles sobre esa parte?
Hay un término "B": la masa. Dijiste que la incertidumbre en la masa era insignificante. Así que el que responde está siguiendo tu ejemplo.

Pregunta simple sobre propagación de error/incertidumbre

Dwagg

j murray

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