Productos cruzados/evitar usar la mano para la regla de la mano derecha en E y M

Entonces mi pregunta es ¿puedo encontrar una base completamente matemática para esto?

Digamos que para cualquier diagrama dado, defino que el eje x positivo va hacia la derecha, el eje y positivo va hacia arriba y el eje z positivo va hacia la página. Entonces acabo de hacer vectores unitarios para todo para determinar el componente que falta.

La "regla de la mano derecha" es una convención tanto para productos cruzados como para sistemas de coordenadas xyz. En la Alemania de antes de la guerra, era común usar un sistema de coordenadas para IZQUIERDOS donde si x aumentaba "hacia la derecha" e y aumentaba "hacia arriba en la página", entonces z AUMENTABA "hacia la página". Sin embargo, hoy en día esto es muy poco común y usamos sistemas de coordenadas diestros donde si x aumenta "hacia la derecha" e y aumenta "hacia arriba en la página", entonces z aumenta "fuera de la página".

Claramente (?) No hay una convención intrínsecamente "correcta".

Pero, como se indicó anteriormente, hoy en día usamos casi exclusivamente la convención de coordenadas de la mano derecha donde

Dada la convención anterior, puede calcular productos cruzados "matemáticamente".

Por ejemplo, si

Actualización (según el comentario):

El ejemplo anterior hace uso de la regla de la mano derecha para$\hat x \times \hat y$. Pero, en general, también encontrará útiles estas otras dos reglas:

También puedes usar determinantes:

De hecho, es posible ^(*) encontrar una forma puramente algebraica de analizar matemáticamente tales problemas, sin usar las manos o dispositivos equivalentes. El método en realidad está bastante relacionado con la respuesta de ggcg, aunque se verá bastante diferente. Y va más allá al prescindir por completo del producto cruzado y reemplazarlo con lo que llamamos el producto "cuña" o "exterior". En lugar de tomar dos vectores y sacar otro vector de ellos, como en$\vec{a} \times \vec{b}$, cuando tomas el producto cuña obtienes un plano: el producto cuña$\vec{a} \wedge \vec{b}$representa el plano atravesado por$\vec{a}$y$\vec{b}$, que es ortogonal al vector$\vec{a} \times \vec{b}$. Además, también hay un "sentido" de este plano, que sustituye a la regla de la mano derecha, y está relacionado con el orden en que se toma el producto:$\vec{b} \wedge \vec{a}$representa el mismo plano exacto, excepto con el "sentido" opuesto, tal como$\vec{b} \times \vec{a}$representa el mismo vector en la dirección opuesta. Puede reescribir expresiones para cosas como la ley de fuerza de Lorentz y las rotaciones (y todo lo demás en física que usa un producto cruzado) con el producto de cuña, y todo funciona maravillosamente. Pero en este caso, en lugar de usar la regla de la mano derecha, solo necesita decidir un orden para sus vectores base: ¿los ordena como$(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, o como$(\vec{x}, \vec{z}, \vec{y})$, ¿Por ejemplo? Hacer una elección para ese orden le permite especificar completamente todo lo que necesita, expandir la base y calcular el producto de la cuña correctamente sin tener que referirse a la lateralidad. ^(**)

Este enfoque es solo una pequeña parte de algo llamado "álgebra geométrica" . Una buena característica de este enfoque es que en realidad se generaliza a otras dimensiones. En dos dimensiones, obtienes una mejor comprensión del álgebra compleja. En cuatro dimensiones, puedes usar las mismas técnicas exactas para hacer la relatividad especial más fácilmente. En realidad, es solo una coincidencia que el producto cruz incluso funcione en tres dimensiones; si quieres algo que funcione en tres dimensiones y en cualquier otra dimensión, tienes que ir al producto de cuña.

El álgebra geométrica es en realidad un gran enfoque pedagógico, y todos estaríamos mejor si todos simplemente lo usaran y se deshicieran de los productos cruzados para siempre. Desafortunadamente, eso no sucederá mientras seas estudiante. Entonces, si bien lo animo a que aprenda álgebra geométrica, y apuesto a que realmente mejorará en física si lo hace, recuerde que probablemente aún le enseñen y le pidan que use productos cruzados.

^(*) Solo necesito dispensar algunos consejos prácticos aquí. Parece que eres un estudiante de física relativamente nuevo (y probablemente talentoso). Los físicos (incluidos los profesores) están muy familiarizados con los diversos problemas de la regla de la mano derecha. Y es desafortunado. Desearía que no fuera así, pero como cuestión puramente práctica, si te apegas a la física, deberás seguir interactuando con el producto cruzado durante al menos un par de años más. Así que mi consejo es que te apegues a él y te vuelvas realmente bueno usándolo correctamente. No es tan difícil, y tal vez ejercite tu cerebro de maneras que sean útiles.

^(**) Todavía es cierto que es posible que eventualmente necesite relacionar su elección particular de direcciones con la idea de otra persona sobre la orientación "correcta". Básicamente, tendría que hacer que su elección de orden sea coherente con su elección, lo que probablemente se basaría en la regla de la mano derecha. Sin embargo, a menos que una pregunta pida específicamente esa orientación, muy bien podría usar una orientación para zurdos y aun así obtener respuestas correctas (por ejemplo, forzar la entrada o salida de la página, etc.) usando el producto de cuña.

De hecho, la definición del producto vectorial está indisolublemente ligada a la elección de la orientación del espacio vectorial tridimensional. Localmente, comunicamos la diferencia entre las orientaciones para diestros y zurdos con señales visuales. La mayoría de los humanos son "diestros", o podemos referirnos al sentido de rotación de la luna, la tierra o la esfera celeste, etc. Mediante estas señales y convenciones visuales, comunicamos la definición "preferida" del producto cruzado.

Ahora imagine que podría tener una conversación con alguien de una parte muy distante del universo, con la regla de que toda la comunicación tenía que ser a través de mensajes de texto con una secuencia de 0 y 1, por lo que no hay emojis, ni imágenes, etc. ¿Podría comunicar realmente nuestra convención preferida local? No está tan claro. Quizás una discusión de texto sobre la fuerza débil podría lograr esto. Pero matemáticamente, no existe un mecanismo para distinguir universalmente una de las dos orientaciones.

Prefiero el enfoque de álgebra lineal a los productos cruzados.

dónde$[\boldsymbol{r}\times]$es el operador matricial de producto cruzado sesgado simétrico 3×3 . Se define como: