Torque en alambre resumido con momento magnético

Estás a mitad de camino. La forma más rápida en que puedo ver es a través de coordenadas y componentes cartesianos explícitos. Empiezas asumiendo que$\mathbf B$es uniforme, por lo que puede sacarlo de la integral (que ya ha usado implícitamente para tratar con$Y$. Eso significa que estás interesado en

$$\begin{align} \frac{\boldsymbol \tau}{I} =\oint_L (\mathbf{r} \cdot \mathbf{B})\mathrm{d}\mathbf{r} =\sum_{j,k}\mathbf e_k\oint_Lx_j B_j\text d x_k =\sum_{j,k}\mathbf e_k B_j\oint_Lx_j\text d x_k. \end{align}$$ Por otro lado, está tratando de probar que esto es igual al par 'objetivo' $$\begin{align} \frac{\boldsymbol \tau_G}{I} &=\frac1I \mathbf m\times\mathbf B =\frac12 \oint_L(\mathbf r\times\text d\mathbf r)\times\mathbf B =\frac12\left[ \oint_L (\mathbf{r} \cdot \mathbf{B})\mathrm{d}\mathbf{r} - \oint_L \mathbf{r}\,(\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}) \right] \\ & =\frac12\left[ \sum_{j,k}\mathbf e_k B_j\oint_Lx_j\text d x_k - \sum_{j,k}\mathbf e_k B_j\oint_Lx_k\text d x_j \right]. \end{align}$$ Estos se ven muy similares, y lo que los une es la identidad. $$\oint_Lx_j\text dx_k+\oint_Lx_k\text dx_j=0.\tag{$\ast\!\ast$}$$ Esto se puede probar con bastante facilidad utilizando la integración por partes en cualquiera de los dos, ya que el término de frontera se desvanece porque $\partial L$esta vacio.

Para hacer que ambos pares coincidan, puede cambiar el$j$y$k$en$\boldsymbol \tau_G$y colapsar ambos términos, o dividir la integral en$\boldsymbol \tau$en$\tfrac12\times$dos integrales con símbolos cambiados y signos opuestos.

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Ahora, me temo que toda esta manipulación matemática realmente no ayuda mucho a responder el núcleo de su pregunta, por lo que el momento magnético surge como la mejor manera de resumir la fea integral. Este suele ser un proceso complicado y, por lo general, es difícil o imposible tener éxito sin comprender las estructuras subyacentes clave en el objeto que está atacando. En el caso de los momentos dipolares, esta estructura subyacente es el hecho de que el término sublíder en la expansión de Taylor del núcleo de Coulomb,

$$\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r'|}=\frac{1}{|\mathbf r|}+\frac{\mathbf r\cdot\mathbf r'}{|\mathbf r|^3}=$$ es lineal en el vector 'pequeño'. Esto significa que se verá obligado a resumir los elementos esenciales de su distribución actual utilizando un tensor que es lineal en las coordenadas. Debido a que tiene restricciones de simetría adicionales, la clase de tensores disponibles ya es bastante pequeña.

De hecho, una vez que realiza el paso (¡crucial!) de suponer que el campo es uniforme, ya tiene una acción tensorial de este tipo: el proceso que lo saca del campo$\mathbf B$en el par

$$\boldsymbol \tau =\sum_j \mathbf e_j\cdot\mathbf B\,I\oint_L x_j\mathrm{d}\mathbf{r}\,$$ que genera ya es una transformación lineal que actúa sobre el campo. Incluso podría escribirlo en su forma matricial: $$\tau_k=\sum_j M_{kj}B_j,$$ dónde $$M_{kj}=I\oint_L x_j\mathrm{d}x_k.$$ En general, esto es más o menos lo más lejos que puede llegar. Esta forma separa el torque en dos ingredientes separados, de los cuales uno describe el bucle y describe la acción externa sobre él.

En este caso, sin embargo, puede ir un poco más allá debido a la simetría de los objetos subyacentes. En particular, existe un requisito estricto de que esta transformación lineal sea antisimétrica . Esta es exactamente la antisimetría expresada en ($\ast\!\ast$), pero tiene un significado más profundo y físico. Como requisito matemático en la matriz$M$, esto requiere que para vectores arbitrarios$\mathbf v$y$\mathbf u$

$$\mathbf v\cdot M\mathbf u=-\mathbf u\cdot M\mathbf v$$ (y reduce la antisimetría en los índices tomando $\mathbf v$y $\mathbf u$ser vectores de coordenadas), pero esto es equivalente a requerir que $$\mathbf v\cdot M\mathbf v=0$$ para cualquier $\mathbf v$. Físicamente, esto requiere que el eje de torsión sea ortogonal al campo magnético uniforme aplicado, y esto es trivial, ya que la torsión en cada componente es ortogonal a él.

Así, la matriz$M$ debe ser antisimétrica. La integración por partes es solo una buena verificación de que la hemos definido correctamente, pero en cierto sentido es superflua.

Finalmente, es precisamente esta asimetría la que nos permite condensar la información en la matriz$M$en un solo vector. En tres dimensiones, una matriz antisimétrica tiene tres componentes independientes, y estos están en correspondencia uno a uno con los componentes de un (pseudo) vector:

$$M=\begin{pmatrix}0& M_{12} & -M_{31}\\ -M_{12} & 0 & M_{23} \\ M_{31} & -M_{23} & 0 \end{pmatrix} =:\begin{pmatrix}0& -m_3 & m_2\\ m_3 & 0 & -m_1 \\ -m_2 & m_1 & 0 \end{pmatrix}.$$ La acción de esta matriz es exactamente la misma que la del producto vectorial con $\mathbf m$: $$M\mathbf B =\begin{pmatrix}0& -m_3 & m_2\\ m_3 & 0 & -m_1 \\ -m_2 & m_1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}B_1\\B_2\\B_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}m_2B_3-m_3B_2\\m_3B_1-m_1B_3\\m_1B_2-m_2B_1\end{pmatrix} =\mathbf m\times\mathbf B.$$ Finalmente, para obtener una expresión para el vector de momento dipolar, simplemente defina $m_i=-M_{jk}$dónde $(i,j,k)$es una permutación cíclica de $(1,2,3)$, o más compacto $$m_i=-\tfrac12\epsilon_{ijk}M_{jk} =\tfrac12\epsilon_{ijk}M_{kj} =\tfrac12\epsilon_{ijk}I\oint_Lx_j\text dx_k .$$ Ahora puede eliminar la notación de coordenadas, porque esto es simplemente $$\mathbf m=\tfrac12I\oint \mathbf r\times\text d\mathbf r,$$ y tu estas listo.