Producto interno no estándar en RnRn\mathbb{R}^n

Question

Producto interno no estándar en RnRn\mathbb{R}^n

Matemáticas
espacios vectoriales
espacios de hilbert
productos internos
álgebra lineal

Rosa

Dejar $\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n)$ y $\mathbf{y} = (y_1, \dots, y_n)$ ser dos vectores en $\mathbb{R}^n$ . Muestra esa
$⟨ X, y ⟩ = 2 (\sum_{i = 1}^{norte} X_{i} y_{i}) - \sum_{i = 1}^{norte - 1} (X_{i} y_{i + 1} + X_{i + 1} y_{i})$ $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 2\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i \right) - \sum_{i=1}^{n-1}(x_iy_{i+1}+x_{i+1}y_i)$ define un producto interno.

Las condiciones de linealidad y conjugación son elementales, pero ¿cómo mostraría la definición positiva? Es decir, demostrando que:

⟨ X, X ⟩ = 2 (\sum_{i = 1}^{norte} X_{i}^{2}) - \sum_{i = 1}^{norte - 1} (2 X_{i} X_{i + 1}) \geq 0,

$\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \rangle = 2 \left(\sum_{i=1}^nx_i^2 \right) - \sum_{i=1}^{n-1}(2x_ix_{i+1}) \ge 0,$ y

⟨ X, X ⟩ = 0 ⟺ X = 0.

$\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \rangle = 0 \iff \mathbf{x}=0.$ Estoy atascado en cómo manipular las expresiones.

¡Por favor ayuda!

eepperly16

Cauchy-Schwarz es tu amigo

Usuario123456789

Para la primera parte, podrías usar eso

0 \leq (x - y)^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y

$0 \leq (x-y)^2=x^2+y^2-2xy$ . Intente reescribir la definición de la IP.

Rosa

@ eepperly16 Por lo general, eso sería ideal, pero lo que se desea es sin asumir Cauchy-Schwarz y trabajar solo desde los primeros principios.

Respuestas (2)

Producto interno no estándar en RnRn\mathbb{R}^n

Para la primera parte, podrías usar eso $0 \leq (x-y)^2=x^2+y^2-2xy$ . Intente reescribir la definición de la IP.
@ eepperly16 Por lo general, eso sería ideal, pero lo que se desea es sin asumir Cauchy-Schwarz y trabajar solo desde los primeros principios.

QED · Answer 1

$2 \left(\sum_{i=1}^nx_i^2 \right) - \sum_{i=1}^{n-1}(2x_ix_{i+1})=x_1^2+x_n^2+\sum_{i=1}^{n-1}(x_i-x_{i+1})^2\geq0$

mucciolo · Answer 2

Me resulta más fácil y ordenado el siguiente enfoque:

Dejar $A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ definido como

A (metro, norte) ≐ {\begin{cases} 1 & , & norte = metro + 1 \\ 0 \end{cases}

$A(m,n) \doteq \begin{cases} 1 &,& n = m+1 \\ 0 \end{cases}$

Entonces para $x = (x_1, ..., x_n)$ tenemos $Ax = (x_2, ..., x_n, 0)$ .

Entonces podemos reescribir el producto interno $\langle \cdot, \cdot \rangle$ en términos del producto interior estándar $\langle \cdot, \cdot \rangle_{\mathbb{R}^n}$ como

\begin{aligned} ⟨ X, y ⟩ & = 2 ⟨ X, y ⟩_{R^{norte}} - ⟨ X, A y ⟩_{R^{norte}} - ⟨ A X, y ⟩_{R^{norte}} \\ = ⟨ X - A X, y - A y ⟩_{R^{norte}} \end{aligned}

$\begin{align} \langle x, y \rangle &= 2 \langle x, y \rangle_{\mathbb{R}^n} - \langle x, Ay \rangle_{\mathbb{R}^n} - \langle Ax, y \rangle_{\mathbb{R}^n} \\ &= \langle x - Ax, y - Ay \rangle_{\mathbb{R}^n} \end{align}$

y aprovechar sus propiedades ya establecidas.

Así, la linealidad, la simetría y la definición positiva siguen inmediatamente.

te dejo para que compruebes eso $\langle x, x \rangle = 0 \iff x=0$ .

Producto interno no estándar en RnRn\mathbb{R}^n

Rosa

eepperly16

Usuario123456789

Rosa

Respuestas (2)

QED

mucciolo

Único u∧vu∧vu\cuña v tal que (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\cuña v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} para todos los w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

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