¿Cómo las variables aleatorias forman espacios vectoriales con un producto interno definido?

Question

¿Cómo las variables aleatorias forman espacios vectoriales con un producto interno definido?

Matemáticas
pregunta suave
espacios vectoriales
espacios de hilbert
productos internos
distribuciones de probabilidad

Antonio Parellada

Estoy muy por encima de mi cabeza en este tema, pero estoy pidiendo un par de declaraciones conceptuales y de encuadre para comprender la imagen más amplia a un nivel intuitivo.

En Hilbert Space Methods in Probability and Statistical Inference de Christopher G. Small, Don L. McLeish se puede leer:

Dejar $\mathbf G$ sea el conjunto de todas las funciones ${\bf x}: \Omega \to > \mathbb R$ tal que $({\mathbf x \land n{\bf 1}})\lor(-n{\bf1})\in > {\mathbf H}$ para todos los números naturales $n$ . El conjunto $\mathbf G$ se puede demostrar que es un espacio vectorial bajo la suma puntual habitual y la multiplicación escalar .

Entonces, ¿cuál es la conexión entre las variables aleatorias (y específicamente sus funciones de densidad de probabilidad) y los espacios de productos internos o vectoriales? Específicamente, y si estas afirmaciones/preguntas se acercan remotamente a la realidad, ¿de qué manera los pdf son lineales con la multiplicación escalar?

En respuesta al comentario, este es el pasaje citado:

Y este es el enlace proporcionado por @symplectomorphic, que realmente resuelve la pregunta:

Muchos de los conceptos de este capítulo tienen interpretaciones elegantes si pensamos en las variables aleatorias con valores reales como vectores en un espacio vectorial. En particular, la varianza y los momentos superiores están relacionados con el concepto de norma y distancia, mientras que la covarianza está relacionada con el producto interno. Estas conexiones pueden ayudar a unificar e iluminar algunas de las ideas del capítulo desde un punto de vista diferente. Por supuesto, las variables aleatorias de valor real son simplemente funciones medibles de valor real definidas en el espacio muestral, por lo que gran parte de la discusión en esta sección es un caso especial de nuestra discusión de espacios de funciones en el capítulo sobre Distribuciones, pero reformulada en el notación de probabilidad.

Como de costumbre, nuestro punto de partida es un experimento aleatorio modelado por un espacio de probabilidad (Ω,F,P). Por lo tanto, Ω es el espacio muestral, F es el álgebra σ de eventos y P es la medida de probabilidad. Nuestro espacio vectorial básico V consta de todas las variables aleatorias de valor real definidas en (Ω, F, P). Recuerda que las variables aleatorias X1 y X2 son equivalentes si P(X1 = X2) = 1, en cuyo caso escribimos X1 ≡ X2. Consideramos dos variables aleatorias como el mismo vector, por lo que técnicamente, nuestro espacio vectorial consiste en clases de equivalencia bajo esta relación de equivalencia. El operador de suma corresponde a la suma habitual de dos variables aleatorias de valor real, y la operación de multiplicación escalar corresponde a la multiplicación habitual de una variable aleatoria de valor real por un número real (no aleatorio).

alex m

Sospecho que

\land

$\land$ y

\lor

$\lor$ son el mínimo y el máximo, pero ¿cuáles son

n 1

$n\mathbf1$ ,

> R

$>\Bbb R$ y

> H

$>\mathbf H$ ?

economista teórico

@AlexM. La misma pregunta, aunque supongo

1

$\mathbf 1$ es solo un vector de

1

$1$ 's.

Antonio Parellada

Chicos, no estoy seguro de esto, pero puede ser una variable indicadora, por la forma en que está en negrita (?).

economista teórico

Además, si piensas en las variables aleatorias como elementos de

L^{2}

$L^2$ , son de hecho elementos de un espacio de Hilbert. Esto también le da a la probabilidad condicional una clara interpretación geométrica.

economista teórico

Sin embargo, ¿@AntoniParellada es un indicador para qué set/evento?

Antonio Parellada

@TheoreticalEconomist Entiendo que esto puede ser más clave de lo que creo, pero si es posible, me gustaría centrarme en el marco más general con respecto a la conexión entre variables aleatorias (y pdf) y espacios vectoriales. Por ejemplo, ¿qué es

L^{2}

$L^2$ ? Ese es mi nivel de (no) comprensión en este momento.

simplectomorfo

Su pregunta de título está cometiendo un error de semántica, confundiendo el objeto de una estructura con la estructura misma. Una variable aleatoria no es un espacio vectorial. Sin embargo, la colección de variables aleatorias que satisfacen ciertas propiedades es un espacio vectorial.

alex m

Además, ¿qué es una variable aleatoria "continua"?

alex m

¿Y qué es un "espacio de probabilidad de Hilbert"?

Antonio Parellada

@AlexM. Probablemente te esté malinterpretando, pero creo que el término 'variable aleatoria continua' es estándar.

Antonio Parellada

@symplectomorphic Este es el tipo de comentario que busco. Especialmente porque se conecta a pdf.

simplectomorfo

Mi comentario no es una respuesta: es una solicitud de que el título no sea prima facie absurdo. Lo que quiere preguntar es si, o cómo, las variables aleatorias forman un espacio vectorial, no si las variables aleatorias son espacios vectoriales.

Antonio Parellada

@symplectomorphic Está bien, aunque creo que he expresado muy claramente que no me siento cómodo con el tema y que solo quiero un diseño de los conceptos principales del marco: un boceto. En este sentido, corregir un malentendido en el título estaría dentro de lo que cabría esperar de una respuesta didáctica.

Antonio Parellada

@symplectomorphic Ahora que veo votos negativos y peticiones de cierre. Felizmente borraré la pregunta, disculpándome por haber ofendido de alguna manera al hacer una pregunta tan tonta y evidente.

simplectomorfo

No voté negativo. Aquí hay una buena pregunta, pero creo que ya se ha hecho antes (busque el espacio de variables aleatorias de Hilbert). Todo lo que digo es que su título no tiene sentido y delata una falta de familiaridad con los objetos básicos sobre los que está preguntando.

simplectomorfo

Aquí hay una descripción más elemental del marco básico. Parece que estás confundiendo variables aleatorias con sus densidades. El espacio vectorial que se estudia en el libro que cita es el espacio de variables aleatorias, también conocido como el espacio de funciones medibles (que satisfacen ciertas condiciones), no el espacio de funciones de densidad para esas variables aleatorias. Tienes razón en que las densidades no están cerradas en la suma puntual y la multiplicación escalar.

Antonio Parellada

@symplectomorphic Gracias, creo que esto aclara un poco el panorama general. Si tiene alguna inclinación, sus comentarios serían una excelente respuesta y la aceptaría.

alex m

@AntoniParellada: Me cuesta entender cómo el párrafo que ha insertado en su publicación responde a su pregunta mientras que mi respuesta no, dado que ambos dicen esencialmente lo mismo. Además, observe que sus variables aleatorias tienen un valor de espacio de Hilbert, en lugar de un valor real. Observe también que la cita grande funciona con clases de variables aleatorias (en las que no puede realizar

\land

$\land$ y

\lor

$\lor$ ) con igualdad hasta conjuntos nulos, mientras trabaja con variables aleatorias "verdaderas". Si te parece que ese párrafo responde a tu pregunta, ¡entonces no lo has entendido! :)

simplectomorfo

@Alex M.: las variables aleatorias en el conjunto

G

$G$ son de valor real; son funciones con dominio

Ω

$\Omega$ y codominio

R

$\mathbb{R}$ . De todos modos, creo que el verdadero problema del OP está en la pregunta final, "¿de qué manera los pdf son lineales con la multiplicación escalar?" La respuesta es que el espacio vectorial consta de variables aleatorias, no de sus pdf.

Antonio Parellada

Gracias, @symplectomorphic Creo que la confusión es el hecho de que, en el nivel de un principiante, los vectores son flechas, polinomios o funciones de Fourier. Pero una variable aleatoria es más abstracta: un mapa del espacio muestral a la línea real (típicamente). Por lo tanto, podría (?) ser comprensible perder la "ecuación" (el polinomio o la serie de Fourier) y buscarla en el pdf. Esto es todo lo que puedo aproximar. Su enlace ayudó mucho a ver un boceto aproximado: una imagen borrosa de la NASA de algunos planetas remotos ... Por ahora.

simplectomorfo

Me alegro de poder ayudar. Parece que no estás acostumbrado a pensar en espacios de funciones , que son espacios vectoriales de funciones. Tienes razón en que los ejemplos más elementales de espacios vectoriales son más sensatos: conjuntos de flechas u ordenados.

n

$n$ -tuplas. Pero las funciones de valor real en algún conjunto también forman un espacio vectorial bajo la suma puntual y la multiplicación escalar puntual: sumando dos funciones ("vectores")

f

$f$ y

g

$g$ da una nueva función ("vector")

f + g

$f+g$ cuyo valor en

x

$x$ es solo

f (x) + g (x)

$f(x)+g(x)$ , etc. En su pregunta, las funciones son las funciones medibles de valor real en el espacio muestral.

Respuestas (1)

¿Cómo las variables aleatorias forman espacios vectoriales con un producto interno definido?

Sospecho que $\land$ y $\lor$ son el mínimo y el máximo, pero ¿cuáles son $n\mathbf1$ , $>\Bbb R$ y $>\mathbf H$ ?
@AlexM. La misma pregunta, aunque supongo $\mathbf 1$ es solo un vector de $1$ 's.
Chicos, no estoy seguro de esto, pero puede ser una variable indicadora, por la forma en que está en negrita (?).
Además, si piensas en las variables aleatorias como elementos de $L^2$ , son de hecho elementos de un espacio de Hilbert. Esto también le da a la probabilidad condicional una clara interpretación geométrica.
Sin embargo, ¿@AntoniParellada es un indicador para qué set/evento?
@TheoreticalEconomist Entiendo que esto puede ser más clave de lo que creo, pero si es posible, me gustaría centrarme en el marco más general con respecto a la conexión entre variables aleatorias (y pdf) y espacios vectoriales. Por ejemplo, ¿qué es $L^2$ ? Ese es mi nivel de (no) comprensión en este momento.
Su pregunta de título está cometiendo un error de semántica, confundiendo el objeto de una estructura con la estructura misma. Una variable aleatoria no es un espacio vectorial. Sin embargo, la colección de variables aleatorias que satisfacen ciertas propiedades es un espacio vectorial.
@AlexM. Probablemente te esté malinterpretando, pero creo que el término 'variable aleatoria continua' es estándar.
@symplectomorphic Este es el tipo de comentario que busco. Especialmente porque se conecta a pdf.
Mi comentario no es una respuesta: es una solicitud de que el título no sea prima facie absurdo. Lo que quiere preguntar es si, o cómo, las variables aleatorias forman un espacio vectorial, no si las variables aleatorias son espacios vectoriales.
@symplectomorphic Está bien, aunque creo que he expresado muy claramente que no me siento cómodo con el tema y que solo quiero un diseño de los conceptos principales del marco: un boceto. En este sentido, corregir un malentendido en el título estaría dentro de lo que cabría esperar de una respuesta didáctica.
@symplectomorphic Ahora que veo votos negativos y peticiones de cierre. Felizmente borraré la pregunta, disculpándome por haber ofendido de alguna manera al hacer una pregunta tan tonta y evidente.
No voté negativo. Aquí hay una buena pregunta, pero creo que ya se ha hecho antes (busque el espacio de variables aleatorias de Hilbert). Todo lo que digo es que su título no tiene sentido y delata una falta de familiaridad con los objetos básicos sobre los que está preguntando.
Aquí hay una descripción más elemental del marco básico. Parece que estás confundiendo variables aleatorias con sus densidades. El espacio vectorial que se estudia en el libro que cita es el espacio de variables aleatorias, también conocido como el espacio de funciones medibles (que satisfacen ciertas condiciones), no el espacio de funciones de densidad para esas variables aleatorias. Tienes razón en que las densidades no están cerradas en la suma puntual y la multiplicación escalar.
@symplectomorphic Gracias, creo que esto aclara un poco el panorama general. Si tiene alguna inclinación, sus comentarios serían una excelente respuesta y la aceptaría.
@AntoniParellada: Me cuesta entender cómo el párrafo que ha insertado en su publicación responde a su pregunta mientras que mi respuesta no, dado que ambos dicen esencialmente lo mismo. Además, observe que sus variables aleatorias tienen un valor de espacio de Hilbert, en lugar de un valor real. Observe también que la cita grande funciona con clases de variables aleatorias (en las que no puede realizar $\land$ y $\lor$ ) con igualdad hasta conjuntos nulos, mientras trabaja con variables aleatorias "verdaderas". Si te parece que ese párrafo responde a tu pregunta, ¡entonces no lo has entendido! :)
@Alex M.: las variables aleatorias en el conjunto $G$ son de valor real; son funciones con dominio $\Omega$ y codominio $\mathbb{R}$ . De todos modos, creo que el verdadero problema del OP está en la pregunta final, "¿de qué manera los pdf son lineales con la multiplicación escalar?" La respuesta es que el espacio vectorial consta de variables aleatorias, no de sus pdf.
Gracias, @symplectomorphic Creo que la confusión es el hecho de que, en el nivel de un principiante, los vectores son flechas, polinomios o funciones de Fourier. Pero una variable aleatoria es más abstracta: un mapa del espacio muestral a la línea real (típicamente). Por lo tanto, podría (?) ser comprensible perder la "ecuación" (el polinomio o la serie de Fourier) y buscarla en el pdf. Esto es todo lo que puedo aproximar. Su enlace ayudó mucho a ver un boceto aproximado: una imagen borrosa de la NASA de algunos planetas remotos ... Por ahora.
Me alegro de poder ayudar. Parece que no estás acostumbrado a pensar en espacios de funciones , que son espacios vectoriales de funciones. Tienes razón en que los ejemplos más elementales de espacios vectoriales son más sensatos: conjuntos de flechas u ordenados. $n$ -tuplas. Pero las funciones de valor real en algún conjunto también forman un espacio vectorial bajo la suma puntual y la multiplicación escalar puntual: sumando dos funciones ("vectores") $f$ y $g$ da una nueva función ("vector") $f+g$ cuyo valor en $x$ es solo $f(x)+g(x)$ , etc. En su pregunta, las funciones son las funciones medibles de valor real en el espacio muestral.

alex m · Answer 1

Está confundiendo "multiplicación escalar puntual" con "producto escalar". Para $\alpha \in \Bbb R$ y $\mathbf x \in \mathbf G$ se puede definir la multiplicación escalar puntual por $(\alpha \mathbf x) (\omega) = \alpha \big( \mathbf x (\omega) \big)$ , para $\omega \in \Omega$ . Aquí no se menciona el producto escalar .

Por supuesto, si realmente quisiera, también podría definir un producto escalar por $\langle \mathbf x, \mathbf y \rangle = \int _\Omega \mathbf x (\omega) \mathbf y (\omega) \ \Bbb d \mu$ dónde $\mu$ es la medida en $\Omega$ , pero se debe tener cuidado para asegurar la convergencia de la integral anterior para todos $\mathbf x$ y $\mathbf y$ , y para que este producto escalar no sea degenerado (tendrá que trabajar con clases de funciones, etc.). Esto podría hacerse, por ejemplo, exigiendo $\mu$ ser finito. En cualquier caso, esto no es lo que tu texto intenta transmitir.

¿El hecho de que estemos trabajando en un espacio de probabilidad no garantiza que $\mu$ es finito?
@TheoreticalEconomist: Sí, pero ¿se da eso? $\Omega$ Qué es un espacio de probabilidad y no sólo un espacio con medida?
@AlexM. Sospecho que lo es, pero supongo que no está exactamente explicado explícitamente. Me parece bien.

¿Cómo las variables aleatorias forman espacios vectoriales con un producto interno definido?

Antonio Parellada

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economista teórico

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Producto interno no estándar en RnRn\mathbb{R}^n

Único u∧vu∧vu\cuña v tal que (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\cuña v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} para todos los w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

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