Producción de pares - ¿matemáticamente?

Question

Producción de pares - ¿matemáticamente?

71GA

En toda la web solo veo una declaración similar a esta:

La producción de pares no es posible en el vacío, se necesita la tercera partícula para que se mantenga la conservación del impulso.

Bueno, nadie de muchos escritores muestra cómo probar esto matemáticamente. Así que esto es lo que me interesa aquí.

Primero, quería saber si la producción de pares realmente no puede ocurrir en el vacío , así que hice un dibujo y usé ecuaciones para la conservación de la energía y la conservación del impulso para calcular la energía de un fotón. $(h \nu)$ necesarios para la producción de pares.

Resulta $h\nu$ es diferente si lo calculo a partir de la conservación de la energía o la conservación del impulso. ¡Y aún más! Nunca puede ser lo mismo porque la igualdad significaría partes $v_1 \cos \alpha$ y $v_2 \cos \beta$ debería igualar la velocidad de la luz $c$ . Bueno, eso no puede pasar.

A continuación se muestra mi derivación.

producción de pares

CONSERVACION DE ENERGIA:

\begin{aligned} W_{1} & = W_{2} \\ W_{F} & = W_{{mi}^{-}} + W_{{mi}^{+}} \\ h v & = W_{k {mi}^{-}} + W_{0 {mi}^{-}} + W_{k {mi}^{+}} + W_{0 {mi}^{+}} \\ h v & = [{metro}_{mi} C^{2} γ (v_{1}) - {metro}_{mi} C^{2}] + {metro}_{mi} C^{2} + [{metro}_{mi} C^{2} γ (v_{2}) - {metro}_{mi} C^{2}] + {metro}_{mi} C^{2} \\ h v & = {metro}_{mi} C^{2} γ (v_{1}) + {metro}_{mi} C^{2} γ (v_{2}) \\ h v & = {metro}_{mi} C^{2} [γ (v_{1}) + γ (v_{2})] \end{aligned}

$\scriptsize \begin{split} W_{1} &= W_{2}\\ W_f &= W_{e^-} + W_{e^+}\\ h\nu &= W_{ke^-} + W_{0e^-} + W_{ke^+} + W_{0e^+}\\ h\nu &=\left[m_ec^2 \gamma(v_1) - m_ec^2\right] + m_ec^2 + \left[m_ec^2 \gamma(v_2) - m_ec^2\right] + m_ec^2\\ h\nu &=m_ec^2 \gamma(v_1) + m_ec^2 \gamma(v_2)\\ h\nu &=m_ec^2 \left[\gamma(v_1) + \gamma(v_2) \right]\\ \end{split}$

CONSERVACIÓN DE MOMENTO:

$y$ dirección:

\begin{aligned} {pag}_{1} & = {pag}_{2} \\ 0 & = {pag}_{{mi}^{-}} pecado α - {pag}_{{mi}^{+}} pecado β \\ 0 & = {metro}_{mi} v_{1} γ (v_{1}) pecado α - {metro}_{mi} v_{2} γ (v_{2}) pecado β \\ Si α = β ⟹ v_{1} = v_{2} y: \end{aligned}

$\scriptsize \begin{split} p_{1} &= p_{2}\\ 0 &= p_{e^-} \sin \alpha - p_{e^+} \sin \beta \\ 0 &= m_e v_{1} \gamma(v_{1}) \sin \alpha - m_e v_{2} \gamma(v_{2}) \sin \beta\\ &\text{If $\boxed{\alpha = \beta} \Longrightarrow \boxed{v_1 = v_2}$ and:} \end{split}$

\begin{aligned} 0 = 0 \end{aligned}

$\begin{split} \scriptsize 0 = 0 \end{split}$

$x$ dirección:

\begin{aligned} {pag}_{1} & = {pag}_{2} \\ \frac{h}{λ} & = {pag}_{{mi}^{-}} porque α + {pag}_{{mi}^{+}} porque β \\ \frac{h v}{C} & = {metro}_{mi} v_{1} γ (v_{1}) porque α + {metro}_{mi} v_{2} γ (v_{2}) porque β \\ h v & = {metro}_{mi} C [γ (v_{1}) \underset{\neq C}{\underset{⏟}{v_{1} porque α}} + γ (v_{2}) \underset{\neq C}{\underset{⏟}{v_{2} porque β}}] \end{aligned}

$\scriptsize \begin{split} p_{1} &= p_{2}\\ \frac{h}{\lambda} &= p_{e^-} \cos \alpha + p_{e^+} \cos \beta \\ \frac{h \nu}{c} &= m_e v_{1} \gamma(v_{1}) \cos \alpha + m_e v_{2} \gamma(v_{2}) \cos \beta\\ h \nu &= m_e c \Big[ \gamma(v_1) \underbrace{v_{1} \cos \alpha}_{\neq c} + \gamma(v_{2}) \underbrace{v_{2} \cos \beta}_{\neq c} \Big] \end{split}$

Todos juntos:

Porque el impulso en $y$ dirección es igual a 0 (es válido para algunas combinaciones de $\alpha, \beta, v_1, v_2$ ) la cantidad de movimiento total es igual a la cantidad de movimiento en $x$ dirección. Entonces, si los agrego, obtengo:

h v = {metro}_{mi} C [γ (v_{1}) \underset{\neq C}{\underset{⏟}{v_{1} porque α}} + γ (v_{2}) \underset{\neq C}{\underset{⏟}{v_{2} porque β}}]

$\scriptsize h \nu = m_e c \Big[ \gamma(v_1) \underbrace{v_{1} \cos \alpha}_{\neq c} + \gamma(v_{2}) \underbrace{v_{2} \cos \beta}_{\neq c} \Big]$

De esto, solo puedo concluir que no puedo aplicar con éxito la conservación de la energía y la conservación del impulso al mismo tiempo y, por lo tanto, la producción de pares en el vacío no puede ocurrir.

PREGUNTA 1: ¿Por qué los escritores afirman que se necesita la tercera partícula para que se mantenga la conservación del impulso? ¿Qué pasa si se mantiene la conservación del impulso y no la conservación de la energía? ¿Cómo podemos decir cuál tiene y cuál no?

PREGUNTA 2: ¿ Los escritores realmente quieren decir que si se incluye una tercera partícula podemos lograr $h \nu$ para coincidir en ambos casos?

PREGUNTA 3: ¿Puede alguien mostrarme matemáticamente cómo se hace esto? Quiero decir que debería ¿verdad?

luksen

duplicado: physics.stackexchange.com/q/13513

Respuestas (2)

Producción de pares - ¿matemáticamente?

Emilio Pisanty · Answer 1

La conservación de la energía y la conservación de la cantidad de movimiento realmente no se pueden separar, ya que la energía y la cantidad de movimiento son simplemente componentes diferentes de un cuadrivector relativista; diferentes observadores inerciales "dividirán" este impulso 4 en energía e impulso de diferentes maneras, al igual que "dividirán" el espacio-tiempo en espacio y tiempo de diferentes maneras.

La verdadera razón por la que la producción espontánea de pares no puede ocurrir es que en el espacio-tiempo de Minkowski, dos vectores temporales dirigidos hacia el futuro (como los 4 momentos del par producido) siempre deben sumarse a un vector temporal dirigido hacia el futuro. Puede convencerse de esto considerando gráficamente los vectores que se encuentran en el interior del cono temporal dirigido hacia el futuro y, por supuesto, también se puede mostrar analíticamente. (Si no recuerdo mal, La geometría del espacio-tiempo de Minkowski de Gregory Naber tiene una buena prueba de esto).

Este 4-momentum total debe ser igual al 4-momentum inicial del fotón por las conservaciones (inseparables) de momento y energía. El 4-momento del fotón, sin embargo, es un vector similar a la luz (nulo), lo que descarta la creación espontánea de un par.

Entonces, ¿por qué es posible la creación de pares "asistidos"? Si tiene una tercera partícula, entonces la situación final tiene tres 4-momentos similares al tiempo y dirigidos al futuro a considerar, por lo que el 4-momentum total es similar al tiempo y dirigido al futuro como antes. El 4-momentum inicial, por otro lado, es ahora la suma de uno similar a la luz, dirigido hacia el futuro (el fotón) y uno similar al tiempo, dirigido al futuro (la tercera partícula), y esto da como resultado un vector similar al tiempo. Por lo tanto, la producción de pares asistida puede ocurrir.

twistor59 · Answer 2

Pregunta 3:

Una dimensión temporal y dos espaciales por simplicidad (t, x, y). Fotón viajando en dirección +x. El impulso del fotón cuatro es $(\frac{E}{c}, p_x, 0)$ . es nulo entonces

\frac{{mi}^{2}}{C^{2}} - {pag}_{X}^{2} = 0

$\frac{E^2}{c^2}-p_x^2=0$ Entonces

{pag}_{X} = \frac{mi}{C}

$p_x = \frac{E}{c}$

E = h ν

$E=h\nu$ , entonces el impulso del fotón cuatro es

(\frac{h ν}{c}, \frac{h ν}{c}, 0)

$(\frac{h\nu}{c}, \frac{h\nu}{c}, 0)$

Para mantenerlo simple, suponga que el electrón/positrón se emiten en ángulos iguales al eje x. Uno de ellos (digamos el electrón) tiene cuatro impulsos.

(\frac{{mi}_{mi}}{C}, {pag}_{mi} C o s ϕ, {pag}_{mi} s i norte ϕ)

$(\frac{E_e}{c}, p_ecos\phi, p_esin\phi)$ que, siendo temporal, satisface

\frac{{mi}_{mi}^{2}}{C^{2}} - {pag}_{mi}^{2} = {metro}_{mi}^{2} C^{2}

$\frac{E_e^2}{c^2}-p_e^2 = m_e^2c^2$ Conservación de la cantidad de movimiento en la dirección x:

\frac{h v}{C} = 2 {pag}_{mi} C o s ϕ = 2 γ_{v} {metro}_{mi} v C o s ϕ (0)

$\frac{h\nu}{c} = 2p_ecos\phi = 2\gamma_vm_evcos\phi \ \ (0)$ dónde

v

$v$ es la magnitud de la velocidad electrón/positrón. Entonces

h v = 2 γ_{v} {metro}_{mi} v C C o s ϕ (1)

$h\nu = 2\gamma_vm_ev \ c \ cos\phi \ \ (1)$ tan claramente

h v < 2 {metro}_{mi} C^{2}

$h\nu < 2 m_e c^2$ Sin embargo, el fotón debe proporcionar al menos las masas en reposo de electrones y positrones, por lo que

h v > 2 {metro}_{mi} C^{2} (2)

$h\nu > 2m_e c^2 \ \ (2)$ Por lo tanto, para que se satisfaga (1), la cantidad de movimiento x debe haber ido a otro lugar. El retroceso nuclear explica esto.

¡Así es como lo quiero! Pero todavía tengo que hacerte 2 preguntas. (1) En la primera parte de la explicación, solo quería mostrar que el momento del fotón se puede calcular como $p_f = \frac{E}{c}$ ? (2) ¿Por qué afirma tantas veces que $\frac{E^2}{c^2}-p^2 = m^2c^2$ tiene para el tiempo como vectores? ¿Es esto muy importante? ¿Por qué?
Sí, el hecho de que el impulso del fotón cuatro sea nulo te permite deducir que su impulso x es E/c. La relación temporal para el electrón/positrón es lo que necesita para llegar a (1), y luego mirar las magnitudes de todos los factores en (1) lo lleva a $h\nu < 2m_ec^2$
Cuando dices "x impulso debe haber ido a otro lugar", ¿ te refieres a x impulso de un fotón antes de la colisión?
Sí, por la desigualdad (2) conocemos el momento del fotón $\frac{h\nu}{c}$ al menos debe ser $2m_ec$ , así que si inicialmente es así de grande, entonces para bajarlo al valor implícito en la ecuación (0), debe haberle dado algo a algún otro cuerpo.

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luksen

Respuestas (2)

Emilio Pisanty

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