¿Cómo se conserva la energía en este sistema?

Al calcular las colisiones (elásticas), se tiene en cuenta tanto la conservación de la energía como la del momento. El fotón tiene inicialmente el momento$p_{\gamma i} = \hbar k$y la energia$E_{\gamma i} = \hbar \omega$, con$k$siendo el número de onda y$\omega$la frecuencia, y el espejo tiene el impulso$p_{mi}=0$y la Energía$E_{mi} = mv^2/2 = 0$. Con$i$denotando i inicial y$f$que denotan cantidades finales , la energía y la conservación del momento son

$$p_{\gamma i} + p_{mi} = p_{\gamma f} + p_{mf} \quad \Leftrightarrow \quad \hbar k_i = -\hbar k_f + m v_f \quad \Leftrightarrow \quad \frac \hbar c \omega_i = - \frac \hbar c \omega_f + m v_f~, \tag{1}$$ $$E_{\gamma i} + E_{mi} = E_{\gamma f} + E_{mf} \quad \Leftrightarrow \quad \hbar \omega_i = \hbar \omega_f + \frac 12 m v_f^2 \quad \Rightarrow \quad \omega_f = \omega_i - \frac{m}{2\hbar} v_f^2~.$$ El signo negativo en$p_{\gamma f} = -\hbar k_f$es necesario, porque el fotón se propaga en la dirección opuesta, por lo que el vector de onda también apunta en la dirección opuesta.

Combinando las ecuaciones anteriores, se sigue

$$\frac \hbar c \omega_i = - \frac \hbar c \omega_i + \frac{m}{2c} v_f^2 + m v_f \quad \Leftrightarrow \quad v_f^2 + 2 c v_f - \frac{4\hbar}{m} \omega_i = 0 \quad \Leftrightarrow \quad (v_f + c)^2 - c^2 - \frac{4\hbar}{m} \omega_i = 0~.$$ $$\Rightarrow v_f = \sqrt{c^2 + \frac{4\hbar}{m}\omega_i} - c~. \tag{2}$$ Y usando (1) rendimientos $$\omega_f = -\omega_i + \frac{cm}{\hbar} v_f~.$$ Esto significa,$|\omega_f| < |\omega_i|$, por lo que el fotón pierde la energía que recibe el espejo y no se viola la conservación de energía.

Editar:

El último párrafo de la publicación original no está mal, pero me confundí un poco allí y, dado que$c/\hbar$es muy grande, realmente no ayuda a señalar por qué$|\omega_f| < |\omega_i|$. Entonces, intentemos de nuevo:

Se mantiene

$$\frac{cm}{\hbar} v_f \overset{\text{(2)}}= \frac{cm}{\hbar} \left( \sqrt{c^2 + 4 \frac{\hbar \omega_i}{m}} - c \right) = \frac{c^2 m}{\hbar} \left( \sqrt{1 + 4 \frac{\hbar \omega_i}{c^2 m}} - 1 \right)~.$$ La expansión de Taylor de$\sqrt{1+4\epsilon}$en$\epsilon = 0$es $$\sqrt{1 + 4 \epsilon} = \sqrt 1 + \left[ \frac{4}{2 \sqrt{1 + 4 \epsilon}} \right]_{\epsilon =0} \epsilon + \frac 12 \left[ - \frac{16}{4 \sqrt{1 + 4 \epsilon}^3} \right]_{\epsilon =0} \epsilon^2 + \mathcal O(\epsilon^3) = 1 + 2 \epsilon - 2 \epsilon^2 + \mathcal O(\epsilon^3)~.$$ Configuración$\epsilon = \hbar \omega_i / (c^2 m)$(que es muy pequeño para cada razonable$\omega_i$y$m$), obtenemos $$\omega_f = - \omega_i + \frac{cm}{\hbar} v_f = - \omega_i + \frac{c^2 m}{\hbar} \left( \sqrt{1 + 4 \epsilon} - 1 \right) \\= - \omega_i + \frac{c^2m}{\hbar} \left( 1 + 2 \frac{\hbar \omega_i}{c^2m} - 2 \left(\frac{\hbar \omega_i}{c^2 m} \right)^2 + \mathcal O(\epsilon^3) -1 \right) \\= -\omega_i + 2\omega_i - \underbrace{2 \frac{\hbar\omega_i^2}{c^2 m}}_{\text{very small}} + \mathcal O\left( \left( \frac{\hbar \omega_i}{c^2 m} \right)^3 \right)~.$$ $$\Rightarrow \omega_f = \omega_i - \underbrace{2 \frac{\hbar\omega_i^2}{c^2 m}}_{\text{very small}}+ \mathcal O\left( \left( \frac{\hbar \omega_i}{c^2 m} \right)^3 \right)~.$$