¿Por qué la fórmula relativista para la cantidad de movimiento no parece consistente con las colisiones?

Question

¿Por qué la fórmula relativista para la cantidad de movimiento no parece consistente con las colisiones?

usuario3723942

La fórmula relativista para el momento es

pag = \frac{metro v}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}} .

$p = \frac{mv}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \,.$

En el siguiente ejemplo, aplico la fórmula de la manera más básica posible a la suma de velocidades. Calculo el impulso antes de la colisión, $p_{0}$ , y el momento después de la colisión, $p_{1}$ . Usando ciegamente estas fórmulas, llego a la conclusión de que $p_{0} \neq p_{1}$ . Sospecho que la mayoría de los estudiantes principiantes de la relatividad especial no podrían encontrar fallas en este argumento; por lo tanto, vale la pena responder y es de amplio interés para la comunidad de Stack Exchange.

Considere dos objetos de masa $m$ inicialmente en reposo que, después de alguna combustión, se separan unos de otros con velocidad $v$ en positivo $x$ dirección y negativo $x$ dirección. Mover al marco de referencia que se mueve a velocidad $v$ en positivo $x$ dirección con respecto a la posición inicial de los bloques en reposo.

Antes del choque, la velocidad aparente de los dos objetos unidos en reposo es $-v$ . Por lo tanto, \

{pag}_{0} = - 2 \frac{metro v}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}} .

$p_{0} = -2\frac{mv}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \,.$

Después de la colisión, el objeto que se mueve en sentido positivo $x$ dirección parece estacionaria con respecto al marco de referencia. Aplicando la fórmula para la suma de velocidades, la velocidad del objeto que se mueve en sentido negativo $x$ la dirección es,

v_{-} = \frac{- 2 v}{1 + \frac{v^{2}}{C^{2}}} .

$v_{-} = \frac{-2v}{1 + \dfrac{v^2}{c^2}} \,.$

Por lo tanto, la cantidad de movimiento total del sistema es

{pag}_{1} = \frac{metro v_{-}}{\sqrt{1 - \frac{v_{-}^{2}}{C^{2}}}} = - 2 \frac{metro v}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}} .

$p_{1} = \frac{mv_{-}}{\sqrt{1 - \dfrac{v_{-}^2}{c^2}}} = -2\dfrac{mv}{1-\dfrac{v^2}{c^2}} \,.$

Así, claramente, $p_{0} \neq p_{1}$ .

usuario3723942

Antes de cerrar esta pregunta, proporcione una razón detallada y explique claramente por qué encontró este razonamiento incorrecto.

knzhou

La resolución es que la masa restante

m

$m$ de los reactivos pueden cambiar en colisiones relativistas. Por ejemplo, su ejemplo podría haber sido describir el proceso

μ^{+} μ^{-} \to e^{+} e^{-}

$\mu^+ \mu^- \to e^+ e^-$ durante el cual el parámetro

m

$m$ en sus fórmulas cambia de

m_{μ}

$m_\mu$ a

m_{e}

$m_e$ .

knzhou

¡Esta también es una pregunta mucho mejor escrita que la anterior! Gracias por mejorarlo.

usuario3723942

Ok, los electrones están bien, pero ¿qué pasa con los bloques? En la física newtoniana, compramos la idea de que puedes tener dos bloques juntos en reposo. Luego hay una "explosión" y se separan con velocidades iguales y opuestas. ¿Qué tiene de ingenua esta historia para un físico de la relatividad?

knzhou

Esta historia debe obedecer a la conservación de la energía, por lo que la energía final debe haber venido de alguna parte, en este caso, de la energía interna de los objetos antes de la colisión. La nueva característica de la relatividad es que esta energía, que estuvo en los objetos todo el tiempo, contribuye a su masa antes de la colisión a través de

E = m c^{2}

$E = mc^2$ .

dmckee --- gatito ex-moderador

De hecho, un marco mucho mejor de la pregunta. He configurado ecuaciones de líneas separadas en la composición tipográfica habitual (uso $$ ... $$para conjunto de bloques). además de agregar algunas etiquetas.

usuario3723942

Parece que estás diciendo que no hay forma de pasar de dos bloques en reposo a dos bloques que se separan sin destruir la masa. ¿No podemos usar una combustión química convencional en la que no se destruye masa? ¿Realmente no hay manera con resortes, etc.?

dmckee --- gatito ex-moderador

La masa se pierde en los explosivos químicos convencionales. Es una fracción tan pequeña que no necesita preocuparse por ella en la mayoría de las condiciones. Pero si está proponiendo impartir velocidades relativistas a las dos masas, entonces deberá realizar un seguimiento.

dmckee --- gatito ex-moderador

Puede ser útil saber que una de las formas de desarrollar la expresión del momento relativista a partir de los primeros principios implica un cálculo del comportamiento de una colisión elástica oblicua. Eso hace que su configuración aquí sea interesante porque es una interacción inelástica, pero eso significa hacer un seguimiento de lo que sucede con la energía como dice @knzhou.

usuario3723942

Antes de la explosión, ¿no podemos almacenar energía de otra forma que no sea la masa? ¿No hay otras formas de energía además de la masa, por ejemplo, la energía potencial de un resorte en espiral? ¿No podemos conectar un resorte a cada bloque y presionar los dos resortes juntos?

knzhou

¡Sí, y el resorte comprimido tendrá más masa que cuando no está comprimido!

dmckee --- gatito ex-moderador

Tenga en cuenta que la energía-momento forman un vector de cuatro, y que la masa es (dentro de los factores propios de

c

$c$ ) la magnitud de ese cuatro vector

(m c^{2})^{2} = E^{2} - (\vec{p} c)^{2}

$(mc^2)^2 = E^2 - (\vec{p}c)^2$ . La energía sin impulso es masa y no hay forma de esquivar el resultado.

fedin

Si considera algún tipo de energía actuando además de las 2 masas, lo que en principio es posible, cambia la naturaleza del problema (incluso si se conservan las masas). En particular, la energía total de su sistema es diferente a la debida a las 2 masas (E+2m en el marco de reposo del sistema, donde E es la energía almacenada en su resorte). Dado que la transformación del momento es en realidad lineal en energía y momento, terminas mezclando estas cantidades.

usuario3723942

Ok, ¿qué pasa con dos electrones separados por un angstrom? Inicialmente en reposo, se alejan unos de otros por repulsión electromagnética. ¿Dónde está la masa perdida?

dmckee --- gatito ex-moderador

Los dos electrones se mantienen en reposo a una distancia

r

$r$ unos de otros tienen más masa que

2 m_{e}

$2m_e$ por

k e^{2} / (r c^{2})

$k e^2/ (r c^2)$ (es decir, la energía potencial eléctrica dividida por

c^{2}

$c^2$ ). Realmente no puedes esquivar la energía extra. En su lugar, calcule el balance de cantidad de movimiento si incluye esa masa extra en el estado inicial.

WillO

Toda la sustancia de esta pregunta estaba presente en la pregunta anterior. Las únicas diferencias entre los dos son: 1) en la versión anterior, el OP dio un ejemplo específico (con v = .6) mientras que aquí se fue

v

$v$ no especificado Esto no hace ninguna diferencia en la calidad de la pregunta; de hecho, la versión anterior probablemente era un poco más fácil de leer. Y 2) Esta vez, la gente parece haberse tomado la molestia de leer la pregunta antes de votar para cerrar.

Respuestas (1)

¿Por qué la fórmula relativista para la cantidad de movimiento no parece consistente con las colisiones?

Antes de cerrar esta pregunta, proporcione una razón detallada y explique claramente por qué encontró este razonamiento incorrecto.
La resolución es que la masa restante $m$ de los reactivos pueden cambiar en colisiones relativistas. Por ejemplo, su ejemplo podría haber sido describir el proceso $\mu^+ \mu^- \to e^+ e^-$ durante el cual el parámetro $m$ en sus fórmulas cambia de $m_\mu$ a $m_e$ .
¡Esta también es una pregunta mucho mejor escrita que la anterior! Gracias por mejorarlo.
Ok, los electrones están bien, pero ¿qué pasa con los bloques? En la física newtoniana, compramos la idea de que puedes tener dos bloques juntos en reposo. Luego hay una "explosión" y se separan con velocidades iguales y opuestas. ¿Qué tiene de ingenua esta historia para un físico de la relatividad?
Esta historia debe obedecer a la conservación de la energía, por lo que la energía final debe haber venido de alguna parte, en este caso, de la energía interna de los objetos antes de la colisión. La nueva característica de la relatividad es que esta energía, que estuvo en los objetos todo el tiempo, contribuye a su masa antes de la colisión a través de $E = mc^2$ .
De hecho, un marco mucho mejor de la pregunta. He configurado ecuaciones de líneas separadas en la composición tipográfica habitual (uso $$ ... $$para conjunto de bloques). además de agregar algunas etiquetas.
Parece que estás diciendo que no hay forma de pasar de dos bloques en reposo a dos bloques que se separan sin destruir la masa. ¿No podemos usar una combustión química convencional en la que no se destruye masa? ¿Realmente no hay manera con resortes, etc.?
La masa se pierde en los explosivos químicos convencionales. Es una fracción tan pequeña que no necesita preocuparse por ella en la mayoría de las condiciones. Pero si está proponiendo impartir velocidades relativistas a las dos masas, entonces deberá realizar un seguimiento.
Puede ser útil saber que una de las formas de desarrollar la expresión del momento relativista a partir de los primeros principios implica un cálculo del comportamiento de una colisión elástica oblicua. Eso hace que su configuración aquí sea interesante porque es una interacción inelástica, pero eso significa hacer un seguimiento de lo que sucede con la energía como dice @knzhou.
Antes de la explosión, ¿no podemos almacenar energía de otra forma que no sea la masa? ¿No hay otras formas de energía además de la masa, por ejemplo, la energía potencial de un resorte en espiral? ¿No podemos conectar un resorte a cada bloque y presionar los dos resortes juntos?
¡Sí, y el resorte comprimido tendrá más masa que cuando no está comprimido!
Tenga en cuenta que la energía-momento forman un vector de cuatro, y que la masa es (dentro de los factores propios de $c$ ) la magnitud de ese cuatro vector $(mc^2)^2 = E^2 - (\vec{p}c)^2$ . La energía sin impulso es masa y no hay forma de esquivar el resultado.
Si considera algún tipo de energía actuando además de las 2 masas, lo que en principio es posible, cambia la naturaleza del problema (incluso si se conservan las masas). En particular, la energía total de su sistema es diferente a la debida a las 2 masas (E+2m en el marco de reposo del sistema, donde E es la energía almacenada en su resorte). Dado que la transformación del momento es en realidad lineal en energía y momento, terminas mezclando estas cantidades.
Ok, ¿qué pasa con dos electrones separados por un angstrom? Inicialmente en reposo, se alejan unos de otros por repulsión electromagnética. ¿Dónde está la masa perdida?
Los dos electrones se mantienen en reposo a una distancia $r$ unos de otros tienen más masa que $2m_e$ por $k e^2/ (r c^2)$ (es decir, la energía potencial eléctrica dividida por $c^2$ ). Realmente no puedes esquivar la energía extra. En su lugar, calcule el balance de cantidad de movimiento si incluye esa masa extra en el estado inicial.
Toda la sustancia de esta pregunta estaba presente en la pregunta anterior. Las únicas diferencias entre los dos son: 1) en la versión anterior, el OP dio un ejemplo específico (con v = .6) mientras que aquí se fue $v$ no especificado Esto no hace ninguna diferencia en la calidad de la pregunta; de hecho, la versión anterior probablemente era un poco más fácil de leer. Y 2) Esta vez, la gente parece haberse tomado la molestia de leer la pregunta antes de votar para cerrar.

youpilat13 · Answer 1

Consideremos el marco en el que inicialmente ambas masas están en reposo para ser el marco $O$ . En el marco de $O,$ La conservación del impulso se sigue de forma trivial debido a la simetría del problema. Para la conservación de energía, requerimos que $M = m \sqrt{1-v^2}$ , dónde $m$ es la masa inicial en reposo de cada una de las partículas y $M$ es la masa final en reposo de cada una de las partículas.

Ahora, observemos la situación desde el punto de vista de un observador. $O'$ moviéndose con una velocidad $v$ en positivo $x$ dirección. En este marco, el impulso inicial es

{pag}_{i} = - \frac{2 metro v}{\sqrt{1 - v^{2}}}

$p_i = -\dfrac{2mv}{\sqrt{1-v^2}}$

y el impulso final es

{pag}_{F} = \frac{METRO (\frac{- 2 v}{1 + v^{2}})}{\sqrt{1 - (\frac{- 2 v}{1 + v^{2}})^{2}}} = - \frac{2 METRO v}{1 - v^{2}} = - \frac{2 metro v}{\sqrt{1 - v^{2}}}

$p_f = \dfrac{M\bigg(\dfrac{-2v}{1+v^2}\bigg)}{\sqrt{1-\bigg(\dfrac{-2v}{1+v^2}\bigg)^2}} = -\dfrac{2Mv}{1-v^2} = -\dfrac{2mv}{\sqrt{1-v^2}}$ si

M = m \sqrt{1 - v^{2}}

$M=m\sqrt{1-v^2}$ , lo cual es consistente con lo que derivamos de la conservación de energía en

O

$O$ .

Para $O'$ , la energía inicial es

{mi}_{i} = \frac{2 metro}{\sqrt{1 - v^{2}}}

$E_i = \dfrac{2m}{\sqrt{1-v^2}}$

y la energía final es

{mi}_{F} = \frac{METRO}{\sqrt{1 - (\frac{- 2 v}{1 + v^{2}})^{2}}} + METRO = \frac{2 METRO}{1 - v^{2}} = \frac{2 metro}{\sqrt{1 - v^{2}}}

$E_f = \dfrac{M}{\sqrt{1-\bigg(\dfrac{-2v}{1+v^2}\bigg)^2}} + M = \dfrac{2M}{1-v^2} = \dfrac{2m}{\sqrt{1-v^2}}$ para

M = m \sqrt{1 - v^{2}}

$M=m\sqrt{1-v^2}$ , lo que de nuevo es coherente con todas las consideraciones anteriores.

Entonces, teniendo en cuenta el cambio en la masa en reposo de las partículas debido al cambio en su estructura durante la combustión (o cualquier proceso que las acelere), podemos ver que en ambos marcos, las leyes de conservación de energía y momento pueden mantenerse consistentemente. .

¿Por qué la fórmula relativista para la cantidad de movimiento no parece consistente con las colisiones?

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knzhou

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