¿Por qué mis condiciones de contorno no funcionan en un oscilador armónico amortiguado?

En uno de los laboratorios de física de nuestra universidad, tenemos un "planeador" de acero en una pista de aire. El planeador está unido a una cuerda conectada a un resorte en un extremo y en el otro extremo tenemos una cuerda con una bola en el extremo. La cuerda se enrolla sobre una polea para que la pelota cuelgue. La pista para el planeador es horizontal. He estado tratando de ver una versión teórica de esto, y sigo dando con una respuesta que me parece mal y esperaba que alguien pudiera tener alguna idea. En la versión real, tiramos del planeador hacia atrás (la bola sale hacia arriba) y luego lo soltamos. La bola que cae hace que se mueva hacia adelante con una aceleración constante hasta que la cuerda se enseña y luego el resorte comienza a estirarse. Este resorte de estiramiento comienza a trabajar contra la gravedad y finalmente hace que el planeador invierta la dirección y oscile en algún punto. Estoy tratando de modelar el movimiento que comienza en el instante en que se enseña la cuerda y el resorte comienza a estirarse, así que llamo a ese punto$t=0$arena$x=0$metro.

Estoy tomando las siguientes constantes como exactas:

• $m_b$= 0,15 kg (masa de la pelota)
• $m_T$= 0,65 kg (masa total del sistema - planeador más bola)
• $g$= 9,81 m/s$^2$(aceleración debida a la gravedad)
• $k$= 7.3575 N/m (constante de resorte - elegida de modo que$m_bg=kx$cuando$x=0.2$metro)
• $c$= 0,4 (coeficiente de amortiguamiento arbitrario)
• Una longitud de "carrera" de 0,2 m (es decir, el comienzo en$x=-0.2$m y tiene aceleración constante hasta$x=0$metro.

Esto da como resultado que el planeador tenga:

• $x[0]=0$metro
• $v[0]=0.951599$EM
• $a[0]=\frac{m_bg}{m_T}=2.26385$EM$^2$

Obtengo una ecuación diferencial de la forma:

$m_T \ddot x=m_bg-kx-c\dot x$

Resolviendo eso con el$v[0]$y $a[0] las condiciones de contorno dan como resultado:

$x[t]=e^{-0.307692t}(0.262983\sin(3.35031t)-0.252118\cos(3.35031t))+0.2$

Sin embargo, esto le da$x[0]=-0.0517349$m, en lugar de cero. De manera similar, el uso de otras dos condiciones de contorno hace que la tercera sea incorrecta. Supongo que una de mis suposiciones debe ser incorrecta, pero no estoy seguro de qué. No creo que esto sea el resultado del redondeo, ya que intenté resolverlo exactamente en Mathematica y obtuve el mismo resultado.

Originalmente encontré esto tratando de modelar tanto la aceleración inicial como la oscilación armónica usando una función por partes y descubrí que si uso el$x[0]$condición límite, mi planeador se detiene en$x=0.4517349$m en lugar de exactamente 0,4 m, como esperaría al igualar la fuerza del resorte a la fuerza de gravedad sobre la pelota. Si no incluyo la amortiguación, todo sale exactamente como esperaba. ¿Estoy haciendo algo mal con mi amortiguación tal vez?

Mis preguntas: ¿Por qué no$x[0]=0$¿metro? ¿Deberia? En el caso de una carrera de 0,2 m con una aceleración constante de 2,26385 m/s$^2$, ¿debería detenerse el planeador a 0,4 m o a 0,4517349 m?

Gráfico de la oscilación armónica amortiguada que comienza en$t=0$está usando el$v[0]$y$a[0]$condiciones de borde. Gráfico de la oscilación armónica amortiguada que comienza en$t=0.420346$s con el avance donde solo la gravedad afecta el sistema trazado desde$t=0$depende de$t=0.420346$s. La línea discontinua horizontal indica$x=0.4517349$metro. Aquí, la primavera entra en acción en$x=0.2$metro.