¿Problema indeterminado con "Spring Launchers"?

Considere el siguiente problema preliminar.

Una caja de masa$m$está unido a una caja de masa$M$por un resorte comprimido, y ambos se mueven a una velocidad$v_{0}$. El resorte comprimido tiene energía potencial.$U$. ¿Cuáles son las velocidades de las cajas después de soltar el resorte y$m$es expulsado hacia atrás? (Suponga que la cajita pierde contacto con el resorte justo cuando el resorte pierde toda su energía potencial).

La dirección derecha es positiva y la dirección izquierda es negativa.

Esto se puede resolver aplicando la conservación de la energía y el momento. Al comparar las energías antes y después de la liberación, encontramos

$$\begin{align*} E &= \frac{1}{2}(m+M)v_{0}^{2} + U = \frac{1}{2}mv_{1}^{2} + \frac{1}{2}Mv_{M}^{2}, \\ P &= mv_{0} + Mv_{0} = mv_{1} + Mv_{M}. \end{align*}$$ Lo anterior son dos ecuaciones y dos incógnitas ($v_{M}, v_{1}$). Resolviendo para$v_{M}$y$v_{1}$se vuelve increíblemente difícil, pero eventualmente obtienes

$$\begin{align*} v_{M} = v_{0} + \sqrt{\frac{2U}{M(1 + \frac{M}{m})}} \qquad\text{and}\qquad v_{1} = v_{0} - \sqrt{\frac{2U}{m(1 + \frac{m}{M})}} \end{align*}$$

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Ahora el escenario principal.

Digamos que hay dos cajas de masas$m_{1}, m_{2}$unido a la caja grande, y los resortes tienen energías$U_{1}, U_{2}$, respectivamente. Luego suponga que ambos resortes se sueltan simultáneamente. Aquí se da un boceto.

En un escenario realista, a la caja grande se le impartiría algo de torsión, y esto ya no sería un problema unidimensional. Para contrarrestar esto, modifiquemos un poco la imagen.

En lugar de dos cajas adjuntas, digamos que hay dos pares de cajas dispuestas en los bordes posteriores de la caja grande. La parte posterior de la caja puede verse así:

Cajas$1$y$2$son de masa$m_{1}/2$con muelles y cajas idénticos$3$y$4$son de masa$m_{2}/2$con resortes idénticos. De esta forma se conserva la simetría para cualquier "lanzamiento" de las cajas, y podemos seguir tratando esto como un problema unidimensional.

Para simplificar esto aún más, supongamos$v_{0} = 0$(como deberíamos haber hecho en el problema inicial).

Entonces la conservación de la energía y la cantidad de movimiento nos da

$$\begin{align*} E &= U_{1} + U_{2} = \frac{1}{2}Mv_{M}^{2} + \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}, \\ P &= 0 = Mv_{M} + m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}. \end{align*}$$

Tenemos$2$ecuaciones y$3$incógnitas ($v_{M}, v_{1}, v_{2}$). Parece que la solución no está determinada de manera única.

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Preguntas

• Qué está pasando aquí? ¿Por qué la solución no está determinada de forma única? Sabemos que en la vida real el escenario tiene un único resultado determinado de manera única.
• ¿Qué información adicional necesita para resolver este problema de forma única?