Multiplicadores de Lagrange para péndulo simple

Question

Multiplicadores de Lagrange para péndulo simple

Ptheguy

Aquí consideramos un péndulo simple que está siendo analizado por multiplicadores de Lagrange. En la Fig. 1 se muestra el péndulo de longitud $l$ y masa $m$ . Dejar $U=0$ sobre el $x$ -eje. Sea la ecuación de la restricción $f(x,y)=\ell=\sqrt{x^2+y^2}$ .

El lagrangiano se convierte en,

L = \frac{1}{2} metro [{\dot{X}}^{2} + {\dot{y}}^{2}] - metro gramo y .

$L=\frac{1}{2}m[\dot{x}^2+\dot{y}^2]-mgy\mathrm{.}$ Aplicando multiplicadores de Lagrange, obtenemos

F_{X} = metro \ddot{X} = λ X / yo,

$F_x=m\ddot{x}=\lambda x/l\mathrm{,}$ y

F_{y} = metro \ddot{y} = λ y / yo - metro gramo .

$F_y=m\ddot{y}=\lambda y/l -mg\mathrm{.}$ Simplemente comparando estos resultados con la segunda ley de Newton, podemos concluir que

λ = - T,

$\lambda=-T\mathrm{,}$ y

λ = T .

$\lambda=T\mathrm{.}$

Mi confusión proviene del hecho de que un resultado niega el otro. Estoy seguro de que he cometido un error, pero parece que no puedo encontrarlo.

Respuestas (1)

Multiplicadores de Lagrange para péndulo simple

Rumplestillskin · Answer 1

Entonces deberías reescribir tu Lagrangiano $\mathcal{L}$ como el seguiente

L = \frac{1}{2} metro ({\dot{X}}^{2} + {\dot{y}}^{2}) - metro gramo y + λ (X^{2} + y^{2} - {yo}^{2}),

$\mathcal{L} = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) -mgy + \lambda (x^2 + y^2 - l^2),$

donde el término final es su ecuación de restricción que normalmente toma la forma $f(x,y)=0$ o en coordenadas generalizadas $f(q_i,t)=0$ (esta es una ecuación de restricción holonómica). Así que el siguiente paso es hacer lo que has hecho anteriormente. Espero que puedas tomarlo desde aquí. PD: aquí y aquí se proporciona una buena referencia sobre cómo abordar la pregunta .

Estimado Rumplestillskin, gracias por su respuesta. Sin embargo, noté que el problema es más sutil. Todo se reduce al sistema de coordenadas incorrecto que elegí. Trabajando con el sistema de coordenadas xy convencional (como se muestra en la Fig. 1), la ecuación de restricción ya NO es $\ell=\sqrt{x^2+y^2}$ , pero alguna otra función. Para arreglar esto, simplemente dejé que la parte superior del péndulo fuera el eje y, y tenía el eje apuntando hacia abajo. Entonces, la ecuación de restricción dada es correcta y todo funciona.
Creo que ni siquiera necesitas cambiar tus coordenadas. Observe la dirección de la fuerza de tensión con su elección original ( $y$ apuntando hacia arriba) será $-y/\ell$ , porque $T$ apunta hacia adentro. Por lo tanto, puede identificar $\lambda =−T$ .

Multiplicadores de Lagrange para péndulo simple

Ptheguy

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Rumplestillskin

Ptheguy

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