Prueba Combinatoria para Coeficiente Binomial Compuesto/Anidado

Ambos lados cuentan el número de pares de aristas en el gráfico completo$K_n$. El LHS es claro. Para el RHS, considere si los bordes comparten un vértice común (el segundo término) o no (el primer término).

Si tu eliges$4$elementos distintos de un conjunto, hay$3$diferentes maneras en que puede organizarlos en dos subconjuntos de$2$elementos cada uno: puede emparejar el primer elemento con cualquiera de los otros tres elementos, dejando que los dos elementos restantes se emparejen entre sí.

Si tu eliges$3$elementos distintos de un conjunto, hay igualmente$3$diferentes formas en que puede organizarlos (con duplicación) en dos subconjuntos de$2$cada uno de los elementos -- puede elegir cada uno de los$3$elementos como el elemento a duplicar y empareje un "gemelo" con cada uno de los otros dos elementos.

No hay otras formas de seleccionar elementos de un conjunto que le permitan agotar los elementos seleccionados y organizarlos en distintos subconjuntos de$2$elementos cada uno, por lo que esto agota las formas de seleccionar dos subconjuntos de$2$elementos cada uno.

Lado izquierdo, tenemos los recuentos totales de dos formas diferentes de elegir 2 elementos de n. Dado que estas dos formas son diferentes, no pueden superponerse por completo.

Si no hay superposición, es lo mismo que elegir 4 elementos, y luego para uno de los elementos, hay otras 3 opciones para emparejarlos, dando$3{n\choose 4}$.

Si hay una superposición, entonces hay 3 formas de elegir la superposición, dando$3{n\choose 3}$.