8 Objetos indistinguibles clasificados al azar en seis baldes - ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres baldes reciban los objetos?

yo obtengo$1 - (6C1)(1/6)^8 - (6C2)[(2/6)^8-2(1/6)^8] \approx 0.997728$, cercano pero no igual a su primer cálculo. Esto trata a los objetos como distinguibles, ya que creo que esa es la realidad física de poner objetos en baldes.

Otra forma de obtener esta respuesta es decir que hay$6^8= 1679616$formas de poner$8$artículos en$6$baldes, y$6$de ellos los tienen todos metidos en un balde mientras$3810$hacer que entren exactamente$2$cubos, dejando$1675800$posibilidad de utilizar al menos$3$baldes, con$\frac{1675800}{1679616} \approx 0.997728$.

Los malos enfoques podrían ser decir

• hay${13 \choose 5}=1287$distribuciones de$8$objetos indistinguibles entre$6$cubos distinguibles, de los cuales$6$usa un balde y$105$usar exactamente$2$cubos, lo que sugiere una probabilidad de$\frac{1176}{1287}\approx 0.913752$como la probabilidad
• hay$20$distribuciones de$8$objetos indistinguibles entre$6$baldes indistinguibles, de los cuales$1$usa un balde y$4$usar exactamente$2$cubos, lo que sugiere una probabilidad de$\frac{15}{20}=0.75$como la probabilidad

pero creo que estos son incorrectos porque las distribuciones no son igualmente probables

La respuesta oficial es incorrecta. En cuanto a su enfoque, es correcto, excepto que tiene un pequeño error cuando distribuye objetos en dos cubos.

$\displaystyle P(X=1) = {6 \choose 1} \cdot \frac{1}{6^8}$

$\displaystyle P(X=2) = {6 \choose 2} \cdot \frac{2^8 - 2}{6^8}$

Tenga en cuenta que$2^8$También contarán los dos arreglos donde todos los objetos van a uno de los dos cubos elegidos. Entonces restamos$2$de$2^8$.

Por lo tanto,

$\displaystyle P(X \geq 3) = 1 - P(X=1) - P(X=2) = \frac{23275}{23328}$

¡Supongo que los cubos son distinguibles! Y los objetos indistinguibles son bolas.

Una pista para responder a la pregunta, suponiendo que las bolas no se puedan distinguir.

$P(X=1)=(6C1)P(\text{all balls fall into bucket 1})$

En el caso de la indistinguibilidad, deberá usar el condicionamiento para obtener la respuesta. El cálculo sigue siendo exactamente el mismo. La única diferencia es que estás usando condicionamiento en lugar de combinatoria.

Dejar$A_i$ser el evento que el$i^{th}$la bola elegida cae en el balde 1

$P(A_1\cap A_2 \cap \dots\cap A_8)=P(A_1)\cdot P(A_2|A_1)\cdot P(A_3|A_1\cap A_2)\dots$

Hay una forma de elegir la primera bola (¡ya que las bolas son indistinguibles!) y la probabilidad de que esa bola entre en el primer cubo es$(1/6)$(porque los cubos son distinguibles). entonces,$P(A_1)=1/6$

Ahora, dado que la primera bola va al primer balde, el número de formas de elegir la segunda bola también es uno (¡las bolas son indistinguibles!), y la probabilidad de que esa bola vaya al primer balde también es$(1/6)$(porque los cubos son distinguibles). entonces,$P(A_2|A_1)=1/6$

Etcétera...

por eso$P(\text{all balls fall into bucket 1})=(1/6)^8$y$P(X=1)=(6C1)P(\text{all balls fall into bucket 1})=(6C1)(1/6)^8$

Creo que es sencillo calcular de manera similar$P(X=2)$y$P(X\geq 3)$

Me gustaría citar a @DavidK aquí ( de esta respuesta , debe consultar esa respuesta, es una joya absoluta),

Una forma en que pienso en esto intuitivamente es que estamos modelando un mundo en el que escribir un número en una pelota o borrar el número no hace que la pelota se escape mágicamente de ti cuando alcanzas la espalda ni salta a tu mano. De hecho, las marcas distintivas (o la falta de ellas) en las bolas no tienen efecto sobre la probabilidad de sacar una bola cada vez. Así que una forma correcta de calcular$P(X=k)$con bolas indistinguibles es calcular$P(X=k)$con bolas distinguibles y simplemente copiar el resultado final. Esto produce las mismas fórmulas.

Espero que esté bien citar a otros usuarios, si es relevante. Si no es así, házmelo saber y eliminaré la cotización.

Con respecto a tu nota:

la probabilidad de dividir 6 objetos en exactamente 2 cubos no es $[(1/6)^7(5/6) + (1/6)^6(5/6)^2 + (1/6)^5(5/6)^3 + (1/6)^4(5/6)^4 + (1/6)^3(5/6)^5 + (1/6)^2(5/6)^6 + (1/6)(5/6)^7]$

debería ser${nCr}\left(8,1\right)\left(\frac{1}{6}\right)^{7}\left(\frac{1}{6}\right)+{nCr}\left(8,2\right)\left(\frac{1}{6}\right)^{6}\left(\frac{1}{6}\right)^{2}+{nCr}\left(8,3\right)\left(\frac{1}{6}\right)^{5}\left(\frac{1}{6}\right)^{3}+{nCr}\left(8,4\right)\left(\frac{1}{6}\right)^{4}\left(\frac{1}{6}\right)^{4}+{nCr}\left(8,5\right)\left(\frac{1}{6}\right)^{3}\left(\frac{1}{6}\right)^{5}+{nCr}\left(8,6\right)\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\left(\frac{1}{6}\right)^{6}+{nCr}\left(8,7\right)\left(\frac{1}{6}\right)^{1}\left(\frac{1}{6}\right)^{7}$