En cuestión de diez parejas casadas para sentarse en cinco mesas diferentes, ¿por qué no nos preocupamos por las otras mesas?

Question

En cuestión de diez parejas casadas para sentarse en cinco mesas diferentes, ¿por qué no nos preocupamos por las otras mesas?

dlp

La solución a este problema,

Diez matrimonios deben sentarse en cinco mesas diferentes, con cuatro personas en cada mesa. Suponga que se sientan al azar, ¿cuál es el número esperado de parejas casadas que se sientan en la misma mesa?

dice que la probabilidad de que cualquier pareja casada se siente junta en una mesa es una variable aleatoria de Bernoulli y se puede calcular con

PAG (X_{i} = 1) = \frac{(\binom{18}{2})}{(\binom{19}{3})}

$P(X_i=1) = {{{18}\choose2}\over{{19}\choose3}}$

dónde ${19}\choose3$ son todas las combinaciones de personas que pueden unirse a un marido de pareja $i$ en los tres lugares restantes de la mesa y ${{18}\choose2}$ son todas las combinaciones de personas que pueden unirse a una pareja $i$ en los dos lugares restantes de la mesa.

Mi pregunta es, ¿por qué no hay más posibilidades a considerar debido a las muchas combinaciones de personas que se sientan en las otras mesas? Por ejemplo, aunque sólo hay ${19}\choose3$ combinaciones de personas que pueden unirse a un marido de pareja $i$ en los tres lugares restantes de la mesa, ¿no hay ${{16}\choose4}{{12}\choose4}{{8}\choose4}{{4}\choose4}$ combinaciones de personas que pueden sentarse en las otras mesas, multiplicando las posibilidades?

¿Se debe a que estas posibilidades se anulan entre sí?

decimos

\frac{(\binom{18}{2}) (\binom{dieciséis}{4}) (\binom{12}{4}) (\binom{8}{4}) (\binom{4}{4})}{(\binom{19}{3}) (\binom{dieciséis}{4}) (\binom{12}{4}) (\binom{8}{4}) (\binom{4}{4})} = \frac{(\binom{18}{2})}{(\binom{19}{3})}

${{{18}\choose2}{{16}\choose4}{{12}\choose4}{{8}\choose4}{{4}\choose4}\over{{19}\choose3}{{16}\choose4}{{12}\choose4}{{8}\choose4}{{4}\choose4}}= {{{18}\choose2}\over{{19}\choose3}}$

o hay alguna razón por la que no se puede hacer eso? ¿O hay alguna razón por la que es innecesario?

JMoravitz

La razón por la que no es necesario es que, al calcular el valor esperado, en realidad no necesitamos conocer el pdf de la distribución. Podemos proceder a través de la linealidad de la expectativa. Aquí, encontramos la probabilidad de que una pareja específica ( digamos, la familia de Jone ) estuviera sentada junta y multiplicamos esa probabilidad por el número total de parejas para obtener el valor esperado. Esto se debe a que el número esperado de parejas sentadas juntas puede expresarse como una suma de variables aleatorias mucho más fáciles de calcular, cada una de las cuales describe si una pareja en particular está sentada junta o no.

dlp

Todavía no estoy seguro si entiendo. ¿No es la probabilidad de que mi pareja se siente en mi mesa

=

$=$ el número de combinaciones en las que mi compañero se sienta en mi mesa dividido por el número de combinaciones totales, en cuyo caso también debemos tener en cuenta las combinaciones de las otras mesas?

JMoravitz

Al calcular probabilidades a través del conteo, puede configurar su espacio de muestra para que sea descriptivo o no descriptivo, siempre que los resultados en el espacio de muestra sean igualmente probables y el evento cuya probabilidad le interesa calcular sea un subconjunto de la muestra. espacio. Aquí, para ser eficientes, solo consideramos el espacio muestral como las diferentes formas en que se llena la mesa donde está sentado el Sr. Jones. Al hacerlo, no nos preocupamos de que las otras tablas enturbien nuestros cálculos.

JMoravitz

Considere un experimento en el que lanzamos una moneda, tiramos un dado y compramos un boleto de lotería y queremos encontrar la probabilidad de que salga cara. Si bien, si quisiéramos, podríamos haber considerado nuestro espacio de muestra como todas las formas en que se podría haber comprado un lanzamiento de moneda, tirada de dados y boleto de lotería, la información sobre la tirada de dados y el boleto de lotería son completamente irrelevantes. Como tal, cuando formamos nuestro espacio muestral, solo debemos preocuparnos por la moneda y podemos describir nuestro espacio muestral aquí con solo dos resultados igualmente probables, lo que simplifica considerablemente el conteo.

dlp

Ah, eso tiene sentido ahora... ¡gracias!

Respuestas (1)

En cuestión de diez parejas casadas para sentarse en cinco mesas diferentes, ¿por qué no nos preocupamos por las otras mesas?

La razón por la que no es necesario es que, al calcular el valor esperado, en realidad no necesitamos conocer el pdf de la distribución. Podemos proceder a través de la linealidad de la expectativa. Aquí, encontramos la probabilidad de que una pareja específica ( digamos, la familia de Jone ) estuviera sentada junta y multiplicamos esa probabilidad por el número total de parejas para obtener el valor esperado. Esto se debe a que el número esperado de parejas sentadas juntas puede expresarse como una suma de variables aleatorias mucho más fáciles de calcular, cada una de las cuales describe si una pareja en particular está sentada junta o no.
Todavía no estoy seguro si entiendo. ¿No es la probabilidad de que mi pareja se siente en mi mesa $=$ el número de combinaciones en las que mi compañero se sienta en mi mesa dividido por el número de combinaciones totales, en cuyo caso también debemos tener en cuenta las combinaciones de las otras mesas?
Al calcular probabilidades a través del conteo, puede configurar su espacio de muestra para que sea descriptivo o no descriptivo, siempre que los resultados en el espacio de muestra sean igualmente probables y el evento cuya probabilidad le interesa calcular sea un subconjunto de la muestra. espacio. Aquí, para ser eficientes, solo consideramos el espacio muestral como las diferentes formas en que se llena la mesa donde está sentado el Sr. Jones. Al hacerlo, no nos preocupamos de que las otras tablas enturbien nuestros cálculos.
Considere un experimento en el que lanzamos una moneda, tiramos un dado y compramos un boleto de lotería y queremos encontrar la probabilidad de que salga cara. Si bien, si quisiéramos, podríamos haber considerado nuestro espacio de muestra como todas las formas en que se podría haber comprado un lanzamiento de moneda, tirada de dados y boleto de lotería, la información sobre la tirada de dados y el boleto de lotería son completamente irrelevantes. Como tal, cuando formamos nuestro espacio muestral, solo debemos preocuparnos por la moneda y podemos describir nuestro espacio muestral aquí con solo dos resultados igualmente probables, lo que simplifica considerablemente el conteo.

cristian blatter · Answer 1

Considere a la Sra. Whitespoon. Ella está sentada en cierta mesa. A su esposo se le asignó uno de los $19$ otros asientos con cada uno de ellos igualmente probable. Tres de estos escaños son favorables. Por lo tanto, el Sr. Whitespoon se sienta en la misma mesa que su esposa con probabilidad ${3\over19}$ . Puesto que hay $10$ tales esposos, por la linealidad de la expectativa, el número esperado de esposos sentados en la misma mesa que sus esposas es $10\cdot{3\over19}=1.579$ .

Ya veo, esta es una forma de llegar a la probabilidad evitando toda la discusión de todas las combinaciones de personas en la mesa.

En cuestión de diez parejas casadas para sentarse en cinco mesas diferentes, ¿por qué no nos preocupamos por las otras mesas?

dlp

JMoravitz

dlp

JMoravitz

JMoravitz

dlp

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cristian blatter

dlp

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