Invariancia de escala en (2+1)D teoría de campo no relativista

Contexto : estoy leyendo un artículo llamado " anomalía de escala de la teoría de campos no relativista " sobre la invariancia de escala en la teoría de campos no relativista.

La densidad lagrangiana para el campo escalar viene dada por,

$$\mathcal{L} = i\phi^\dagger\partial_t\phi+\frac{1}{2}\phi^\dagger\nabla^2\phi-\frac{v_0}{4}\phi^\dagger\phi^\dagger\phi\phi.\tag{2.5}$$

Transformación de escala : La transformación de escala viene dada por,

$$\begin{align} \boldsymbol{x}&\rightarrow e^\alpha \boldsymbol{x}\\ t&\rightarrow e^{2\alpha}t\\ \phi&\rightarrow e^{-\alpha}\phi. \end{align}\tag{3.1}$$

Con estas transformaciones de escala, el documento establece que

$$\begin{align} \delta\phi &= (1+\boldsymbol{x}\cdot\nabla+2t\partial_t)\phi\tag{3.2}\\ \delta\mathcal{L}&=(4+\boldsymbol{x}\cdot\nabla+2t\partial_t)\mathcal{L}.\tag{3.4} \end{align}$$

Pregunta : Mi pregunta es acerca de derivar las ecuaciones para$\delta\phi$y$\delta\mathcal{L}$. Supongo que las ecuaciones han omitido el parámetro de escala.$\alpha$que es común en la mayoría de los artículos y libros. Pude derivar la primera ecuación pero terminé con un signo negativo al frente. Una breve derivación para eso:

$$\begin{align}\delta \phi &= \phi'(x,t)-\phi(x,t)\\ &= \phi'(x',t')-\phi(x,t)-[\phi'(x',t')-\phi'(x,t)]\\ &= -\alpha(1+\boldsymbol{x}\cdot\nabla+2t\partial_t)\phi \end{align}$$ donde he mantenido términos hasta primer orden en$\alpha$y usó las ecuaciones de transformación de escala. Sin embargo, mi pregunta es cómo obtener la ecuación para$\delta \mathcal{L}$? ¿Hay una manera corta de hacerlo? Yo he tratado $$\delta \mathcal{L}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta(\partial_\mu\phi)+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi$$ y utilicé las transformaciones pero no obtengo el resultado deseado. Cualquier ayuda es apreciada.