Número esperado de preguntas cuando el estudiante sabe 50 de 250 preguntas y el profesor selecciona 25

Question

Número esperado de preguntas cuando el estudiante sabe 50 de 250 preguntas y el profesor selecciona 25

Matemáticas
probabilidad
combinatoria
Matemáticas discretas

Manzana platano

Un maestro tiene 250 preguntas de prueba de muestra y selecciona 25 de las cuales poner en la prueba. Johnny solo practica 50 de las 250 preguntas.

a) ¿Cuál es el número esperado de preguntas que aparecen en el examen en el que Johnny ha practicado?

Mi respuesta: estoy bastante confundido, así que no creo que sea la respuesta correcta. Sé que el valor esperado es justo

\sum_{k = 1}^{25} [k pag (k)]

$\sum_{k=1}^{25} \left[kp(k)\right]$

Sin embargo, no estoy seguro de qué $p(k)$ es. creo que es

\frac{25}{250} \frac{50}{250} = 0.02

$\frac{25}{250} \frac{50}{250} = 0.02$ lo que haría

E (X) = 6.5

$E(X) = 6.5$

b) ¿Cuál es la probabilidad de que Johnny no haya practicado ninguna de las preguntas del examen?

Mi respuesta: aquí intenté usar la distribución hipergeométrica y establecí N = 250, r = 25, n = 50 yx = 0. Obviamente, asumiendo aquí que si Johnny ve una pregunta que ha practicado, podrá resolverla. Esto significa que la respuesta final será

\frac{(\binom{50}{0}) (\binom{225}{50})}{(\binom{250}{50})}

$\frac {{50 \choose 0}{225 \choose 50}} {{250 \choose 50}}$ cual es

\frac{(\binom{225}{50})}{(\binom{250}{50})}

$\frac {{225 \choose 50}} {{250 \choose 50}}$

¿Son correctas esas respuestas? ¡Cualquier ayuda sería apreciada! Gracias.

JMoravitz

La respuesta a la segunda parte es correcta. ¿La respuesta a la primera parte? No tanto. Una pista para la primera parte: la linealidad de la expectativa.

E [X + Y] = E [X] + E [Y]

$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ . ¿Cuál es la probabilidad de que la primera pregunta que aparece en el texto sea de hecho una que nuestro estudiante haya estudiado? ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda pregunta que aparece en la prueba sea de hecho una que nuestro estudiante haya estudiado? La dependencia de estos dos eventos es completamente irrelevante. Asegúrate de entender por qué.

JMoravitz

Su enfoque para el n. ° 1 es razonable, sin embargo, el

p (k)

$p(k)$ está hablando de que tratar de encontrar es bastante complicado, más complicado de lo que se espera que un estudiante principiante pueda encontrar por su cuenta. Peor aún... incluso suponiendo que pudieras encontrar una expresión apropiada para

p (k)

$p(k)$ , simplificar la suma no es una tarea fácil. El enfoque con la linealidad de la expectativa, por otro lado, es trivial, debería ser intuitivo y podría haberse adivinado correctamente.

usuario2661923

@JMoravitz Personalmente, inicialmente consideré el hecho de que la Linealidad de la expectativa no requiere que los eventos independientes sean contrarios a la intuición. No fue hasta que vi la prueba, en el enlace de brillant.org en mi respuesta, que me vi obligado a aceptar esta conclusión. Uno podría suponer que el meta-trampa podría haber sugerido este resultado. Es decir, si el cálculo del valor esperado requiriera una ardua consideración de los eventos dependientes, entonces uno tendría que preguntarse por qué el creador del problema planteó la pregunta.

usuario2661923

@JMoravitz Sospecho que lo que realmente está sucediendo es que el compositor del problema pretendía que el estudiante ya hubiera estado expuesto al resultado de la Linealidad de la expectativa, como parte del entrenamiento.

Manzana platano

Ok, creo que lo entiendo ahora después de mirar el brillante artículo y las respuestas. Dado que la linealidad de la expectativa no requiere que los eventos en sí mismos sean independientes,

(1 / 5) (25)

$(1/5)(25)$ es igual a sumar todos los valores esperados individuales, ¿verdad?

usuario2661923

Sí, eso es exactamente. Además, está el problema oculto del meta-trampa . Los compositores de problemas generalmente tienen algún valor educativo en mente y un plan de ataque razonable en mente cuando plantean una pregunta. Por lo general, cuando se le asigna un problema, es simplemente una aplicación de la capacitación que supuestamente el creador del problema le ha brindado recientemente. Espero que esto se aplique a cualquier curso de matemáticas, por debajo del nivel de posgrado.

Respuestas (1)

Número esperado de preguntas cuando el estudiante sabe 50 de 250 preguntas y el profesor selecciona 25

La respuesta a la segunda parte es correcta. ¿La respuesta a la primera parte? No tanto. Una pista para la primera parte: la linealidad de la expectativa. $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ . ¿Cuál es la probabilidad de que la primera pregunta que aparece en el texto sea de hecho una que nuestro estudiante haya estudiado? ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda pregunta que aparece en la prueba sea de hecho una que nuestro estudiante haya estudiado? La dependencia de estos dos eventos es completamente irrelevante. Asegúrate de entender por qué.
Su enfoque para el n. ° 1 es razonable, sin embargo, el $p(k)$ está hablando de que tratar de encontrar es bastante complicado, más complicado de lo que se espera que un estudiante principiante pueda encontrar por su cuenta. Peor aún... incluso suponiendo que pudieras encontrar una expresión apropiada para $p(k)$ , simplificar la suma no es una tarea fácil. El enfoque con la linealidad de la expectativa, por otro lado, es trivial, debería ser intuitivo y podría haberse adivinado correctamente.
@JMoravitz Personalmente, inicialmente consideré el hecho de que la Linealidad de la expectativa no requiere que los eventos independientes sean contrarios a la intuición. No fue hasta que vi la prueba, en el enlace de brillant.org en mi respuesta, que me vi obligado a aceptar esta conclusión. Uno podría suponer que el meta-trampa podría haber sugerido este resultado. Es decir, si el cálculo del valor esperado requiriera una ardua consideración de los eventos dependientes, entonces uno tendría que preguntarse por qué el creador del problema planteó la pregunta.
@JMoravitz Sospecho que lo que realmente está sucediendo es que el compositor del problema pretendía que el estudiante ya hubiera estado expuesto al resultado de la Linealidad de la expectativa, como parte del entrenamiento.
Ok, creo que lo entiendo ahora después de mirar el brillante artículo y las respuestas. Dado que la linealidad de la expectativa no requiere que los eventos en sí mismos sean independientes, $(1/5)(25)$ es igual a sumar todos los valores esperados individuales, ¿verdad?
Sí, eso es exactamente. Además, está el problema oculto del meta-trampa . Los compositores de problemas generalmente tienen algún valor educativo en mente y un plan de ataque razonable en mente cuando plantean una pregunta. Por lo general, cuando se le asigna un problema, es simplemente una aplicación de la capacitación que supuestamente el creador del problema le ha brindado recientemente. Espero que esto se aplique a cualquier curso de matemáticas, por debajo del nivel de posgrado.

usuario2661923 · Answer 1

¿Cuál es el número esperado de preguntas que aparecen en el examen en el que Johnny ha practicado?

Johnny practica en $50$ fuera de $250$ preguntas. Esto implica que al azar, cualquier pregunta tiene un $(1/5)$ ª probabilidad de ser una pregunta en la que Johnny haya practicado.

La linealidad de la expectativa no requiere que los eventos sean independientes.

Considera lo siguiente $2$ eventos:

$E_1$ : Johnny practicó con la primera pregunta elegida por el profesor.
$E_2$ : Johnny practicó con la 2ª pregunta elegida por el profesor.

Al calcular el número esperado de preguntas, de las $(25)$ elegido por el profesor, que Johnny habrá practicado, es irrelevante (por ejemplo) que los eventos $E_1$ y $E_2$ anteriores no son eventos independientes.

Entonces, el número esperado de preguntas, fuera del $(25)$ preguntas elegidas por el profesor, que Johnny habrá practicado es

(1 / 5) \times 25 = 5.

$(1/5) \times 25 = 5.$

¿Cuál es la probabilidad de que Johnny no haya practicado ninguna de las preguntas del examen?

La probabilidad se puede expresar como

\frac{norte (enumerador)}{D (nominador)} .

$\frac{N\text{(umerator)}}{D\text{(enominator)}}.$

$N$ indicará el número de formas de seleccionar $25$ preguntas de la $200$ que Johnny no practicó.

$D$ indicará el número de formas de seleccionar $25$ preguntas de cualquiera de los $250$ preguntas.

Entonces, la probabilidad es

\frac{(\binom{200}{25})}{(\binom{250}{25})} .

$\frac{\binom{200}{25}}{\binom{250}{25}}.$

Editar
Ver el comentario de JMoravitz, siguiendo mi respuesta. De hecho, pensé que la respuesta del OP (es decir, el póster original) de

\frac{(\binom{225}{50})}{(\binom{250}{50})}

$\frac{\binom{225}{50}}{\binom{250}{50}}$

se equivocó automáticamente porque involucraba Combinaciones diferentes a la mía. Nunca se me ocurrió que el $2$ las respuestas son equivalentes

Por si sirve de algo, mi enfoque fue centrarme en el $25$ preguntas seleccionadas, razonando que tenían que ser parte del $200$ preguntas en las que Johnny no practicó.

El OP tomó el punto de vista válido (pero opuesto). Razonó que el $50$ Las preguntas en las que Johnny practicó tenían que estar contenidas en el $225$ preguntas que no fueron seleccionadas.

Enfatizar, $\dfrac{\binom{200}{25}}{\binom{250}{25}} = \dfrac{\binom{225}{50}}{\binom{250}{50}}$ . De un vistazo, uno podría haber pensado que estaba diciendo que la respuesta del OP a la parte 2 era incorrecta cuando no lo es. Tanto la respuesta suya como la de OP son correctas, solo aparecen en una forma diferente.
@JMoravitz Tienes toda la razón. Eso es lo que estaba diciendo. Editaré mi respuesta en consecuencia.
@JMoravitz Ambos iguales $\frac{250!}{175!50!25!}$ cuando se multiplica por.
@JMP Fui yo quien no se dio cuenta de eso hasta que JMoravitz lo señaló.

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