Principio cosmológico en las ecuaciones de campo de Einstein

Question

Principio cosmológico en las ecuaciones de campo de Einstein

RMC777

En una tarea, me han pedido que describa cómo se manifiesta el principio cosmológico en las ecuaciones de campo de Einstein.

R_{m v} - \frac{1}{2} R {gramo}_{m v} + Λ {gramo}_{m v} = \frac{8 π GRAMO}{C^{4}} T_{m v}

$R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}$ Tal como lo entiendo, El Principio Cosmológico establece que a una escala lo suficientemente grande, la distribución espacial de la materia en el Universo es homogénea e isotrópica, sin embargo, no veo cómo ese principio se mantiene para cualquier métrica o para cualquier tensor de energía-momentum. ¿La métrica FLRW no se construyó específicamente de esa manera para que fuera homogénea e isotrópica? Si ese es el caso, ¿por qué cualquier otra métrica sería homogénea e isotrópica?

Quizás la homogeneidad podría surgir del (fuerte) Principio de Equivalencia y de la covarianza general de la Relatividad General. El principio de equivalencia fuerte establece que, localmente, nuestra métrica es $\eta_{\mu \nu}$ en cualquier punto, mientras que la covarianza general significa que las leyes de la física son independientes de cualquier sistema de coordenadas. Esto significa que no importa dónde nos ubiquemos en nuestra variedad, no hay una curvatura aparente (localmente) y todo debería comportarse de la misma manera. Sin embargo, no me gusta esta línea de razonamiento ya que el Principio de Equivalencia es local mientras que el Principio Cosmológico se mantiene en escalas suficientemente grandes.

Si lo que dije antes explica la homogeneidad, no veo de dónde podría surgir la isotropía, de hecho, creo que la isotropía es una propiedad particular que depende de la métrica y el tensor de energía-momento de su elección.

En última instancia, creo que El Principio Cosmológico se manifiesta si $g_{\mu \nu}$ es la métrica FLRW y $T_{\mu \nu}$ es la de un fluido perfecto, de lo contrario no veo cómo la homogeneidad y la isotropía son propiedades generales de las ecuaciones de campo de Einstein. Creo que debo aclarar, no estoy buscando una respuesta a mi tarea, lo que quiero saber es si mi comprensión de los conceptos y temas en cuestión es correcta.

Gracias por tu tiempo.

j murray

Mi interpretación de "¿Cómo se manifiesta el principio cosmológico en las ecuaciones de Einstein?" está más en la línea de "Si imponemos el principio cosmológico como un requisito, ¿qué implicaría eso sobre las ecuaciones de Einstein, o más específicamente,

T

$T$ ?"

RMC777

Entonces no hay motivo para mencionar el principio de equivalencia y la covarianza general, ¿verdad? En teoría, todo tensor métrico y de energía-momento debería satisfacer estas propiedades, ¿verdad? Independientemente de si estos son homogéneos e isotrópicos.

j murray

Un espacio-tiempo arbitrario ciertamente no es ni homogéneo ni isotrópico, por lo que ni el principio de equivalencia ni la covarianza general pueden implicar ninguno de los dos. En cualquier caso, no estoy haciendo declaraciones sobre cómo debe responder la pregunta, solo menciono que puede valer la pena aclarar su interpretación de la pregunta con su instructor.

Respuestas (1)

Principio cosmológico en las ecuaciones de campo de Einstein

Mi interpretación de "¿Cómo se manifiesta el principio cosmológico en las ecuaciones de Einstein?" está más en la línea de "Si imponemos el principio cosmológico como un requisito, ¿qué implicaría eso sobre las ecuaciones de Einstein, o más específicamente, $T$ ?"
Entonces no hay motivo para mencionar el principio de equivalencia y la covarianza general, ¿verdad? En teoría, todo tensor métrico y de energía-momento debería satisfacer estas propiedades, ¿verdad? Independientemente de si estos son homogéneos e isotrópicos.
Un espacio-tiempo arbitrario ciertamente no es ni homogéneo ni isotrópico, por lo que ni el principio de equivalencia ni la covarianza general pueden implicar ninguno de los dos. En cualquier caso, no estoy haciendo declaraciones sobre cómo debe responder la pregunta, solo menciono que puede valer la pena aclarar su interpretación de la pregunta con su instructor.

Andrés · Answer 1

Andrés

Sí, creo que estás entendiendo los conceptos. De hecho, diría que las ecuaciones de Einstein son consistentes con el principio cosmológico (ya que como dices, la métrica FLRW es una solución) pero no implica el principio cosmológico (ya que también puedes tener soluciones que violen la homogeneidad y la isotropía a gran escala).

RMC777

Pero también tenemos que considerar

T_{μ ν}

$T_{\mu \nu}$ , ¿no? Creo que no hay problema si dicho tensor es el del vacío o un fluido perfecto, pero en general no debería ser homogéneo e isotrópico, ¿o sí?

Andrés

@RMC777 Sí, debemos considerar tanto la curvatura

G_{μ ν}

$G_{\mu\nu}$ y la energía del estrés

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ . Si asumimos el principio cosmológico, entonces como consecuencia podemos elegir coordenadas donde los componentes de

T_{ν}^{μ}

$T^{\mu}_{\ \ \nu}$ son

d i a g (- ρ, p, p, p)

${\rm diag}(-\rho,p,p,p)$ . Reemplazar esto en las ecuaciones de Einstein le da las ecuaciones de FLRW (por lo que las ecuaciones de Einstein son consistentes con FLRW). Si no asumimos el principio cosmológico, entonces

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ es en general solo un tensor arbitrariamente complicado, y de manera similar, la curvatura y la geometría no tienen razón para no ser arbitrariamente complicadas.

RMC777

Correcto, estoy de acuerdo. En general, la homogeneidad y la isotropía no son propiedades de métricas arbitrarias o tensores de energía-momento. Debería preguntar a mis maestros si la pregunta salió como se pretendía o si se referían a otra cosa. Gracias por tu tiempo.

Andrés

@ RMC777 Sospecho que lo que tienen en mente es que el principio cosmológico es consistente con las ecuaciones de Einstein. Por ejemplo: el principio cosmológico implica que puedes encontrar coordenadas donde

T_{ν}^{μ} = d i a g (- ρ (t), p (t), p (t), p (t))

$T^\mu_{\ \ \nu}={\rm diag}(-\rho(t),p(t),p(t),p(t))$ y

d s^{2} = - d t^{2} + a^{2} (t) d s_{3, m a x . s y m .}^{2}

${\rm d}s^2=-{\rm d}t^2 + a^2(t) {\rm d}s_{3,\ {\rm max.\ sym.}}^2$ (dónde

d s_{3, m a x . s y m .}^{2}

${\rm d}s_{3,\ {\rm max.\ sym.}}^2$ es la métrica para un espacio tridimensional máximamente simétrico), y las ecuaciones de Einstein permiten geometrías que son soluciones a las ecuaciones con este tipo de tensión-energía.

Principio cosmológico en las ecuaciones de campo de Einstein

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j murray

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j murray

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Andrés

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Andrés

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