Primera integral del problema de Kepler

Sí, tiene sentido definir elementos orbitales incluso para potenciales con términos de orden superior.$q$, que cambiaré de nombre a$r$ya que es más común en este tipo de problemas.

Ejemplo: sea el potencial dado por$U(r)=-\frac{\mu}{r}+\frac{h}{r^2}$, dónde$h>0$. Para las condiciones iniciales de la partícula que tiene masa$m$, con una posición inicial de$T(a,0)$y la velocidad inicial de$v_0=\sqrt{\frac{\mu}{2am}}$en la dirección$\phi_0=\pi/4$, y sea la relación entre$h$y otros parámetros se dan como$h=\frac{3}{8}ak$(los parámetros se eligen para dar una buena fórmula y gráfico de salida), la ecuación de la órbita se puede calcular para ser

$$r(\theta)=\frac{a}{1-0.5\sin(2\theta)}$$ y se ve así:

En la imagen puede ver la posición inicial y la velocidad.$\vec{r}_0$y$\vec{v}_0$respectivamente, así como$r_{min}$y$r_{max}$que corresponden a perihelios y afelios.

En cuanto a la definición del momento angular y el vector de Laplace-Runge-Lenz (que llamas$\vec{e}$), dado que el potencial tiene simetría rotacional (es decir, la fuerza es central), el momento angular se conserva (prueba de la cual puedo incluir si lo desea), por lo que puede calcularlo a partir de las condiciones iniciales:

$$\vec{M}=\vec{r}_0\times\vec{v}_0=mav_0\sin(\pi/4)\hat{z}=0.5\sqrt{mak}\hat{z}$$

El vector LRL es una cantidad conservada en el problema de Kepler, pero en otros no suele conservarse, y tiene una evolución temporal que se puede obtener perturbativamente. Puede encontrar más información aquí .

Con más términos de orden superior, las integrales de movimiento suelen volverse muy difíciles o irresolubles, pero incluso en el caso de que recurramos a cálculos numéricos, se puede obtener mucha información de esos dos vectores.