¿Aceleración debida a la gravedad?

Tenemos

$${\bf F} = \mu {\bf a}$$ dónde $\mu = M m/(M+m)$es la masa reducida . De este modo, $$\frac{G M m}{r^3}{\bf r} = \frac{M m}{M+m}{\bf a}$$ o $$\begin{eqnarray*} {\bf a} &=& \frac{G(M+m)}{r^3}{\bf r} \\ &=& \frac{G M}{r^3}{\bf r}\left(1+\frac{m}{M}\right) \\ &\simeq& \frac{G M}{r^3}{\bf r}. \end{eqnarray*}$$ Darse cuenta de $m/M \simeq 10^{-19}$. El error que se acumula al ignorar este término es muy pequeño.

Como mencionó @Lagerbaer, la proporción que encuentra preocupante involucra el vector${\bf r}$dividido por$r^3$. Esto se puede escribir como

$$\frac{{\bf r}}{r^3} = \frac{\hat r}{r^2}$$ dónde $\hat r$es el vector unitario en el ${\bf r}$dirección. La magnitud de la fuerza gravitacional será la conocida ya que $|{\bf r}/r^3| = 1/r^2$.