Presión de campo magnético dipolar

Es relativamente fácil derivar la energía potencial almacenada en el campo magnético de una esfera magnetizada uniformemente de radio$R$y momento magnético total$\mu$:

$$\begin{equation}\tag{1} U_{\text{magn}} = \frac{\mu_0 \, \mu^2}{4 \pi R^3}. \end{equation}$$

El campo es uniforme dentro de la esfera y dipolar en el lado exterior. Está ejerciendo una presión que quiero calcular. En termodinámica, la presión se puede definir como la derivada parcial de la energía "interna" relativa a un cambio de volumen:

$$\begin{equation}\tag{2} P = -\, \frac{\partial U}{\partial V}. \end{equation}$$ Desde $V = 4 \pi R^3 / 3$, es tentador derivar directamente (1) (suponiendo $\mu = \text{constant}$), para obtener esta relación: $$\begin{align} P_{\text{magn} \, 1} = -\, \frac{\partial \,}{\partial V} \Big( \frac{\mu_0 \, \mu^2}{3 V} \Big) &= \frac{\mu_0 \, \mu^2}{3 V^2} \\[12pt] &\equiv \frac{U_{\text{magn}}}{V}. \tag{3} \end{align}$$ Esto recuerda la rígida ecuación de estado $p = \rho$.

no creo que$\mu$podría considerarse como una variable independiente (cambiar el radio de la esfera puede tener un efecto sobre el momento dipolar total, a menos que haya algún tipo de restricción). el campo polar$B_{\text{pole}}$está relacionado con$\mu$por esto :

$$\begin{equation}\tag{4} \mu(R, B_{\text{pole}}) = \frac{2 \pi B_{\text{pole}}^2 \, R^3}{\mu_0}. \end{equation}$$ si asumo que $B_{\text{pole}}$es la variable independiente (puede ser alguna restricción), luego sustituyendo (4) en (1) y haciendo la derivada da esta relación en su lugar (¡una presión negativa = tensión !): $$\begin{equation}\tag{5} P_{\text{magn} \, 2} = -\, \frac{\partial \,}{\partial V} \Big( \frac{3 B_{\text{pole}}^2}{4 \mu_0} \, V \Big) = -\, \frac{U_{\text{magn}}}{V}. \end{equation}$$ Esto recuerda la constante cosmológica relación de estado: $p = -\, \rho$.

Hay una tercera posibilidad (¿hay otras?). Puedo considerar el flujo magnético $\Phi = B_{\text{inside}} \, \pi R^2$como variable independiente (flujo del campo interno de la esfera que pasa por su propio ecuador):

$$\begin{equation}\tag{6} \Phi = \frac{\mu_0 \, \mu}{2 R}. \end{equation}$$ En este caso, la presión sería $$\begin{equation}\tag{7} P_{\text{magn} \, 3} = -\, \frac{\partial \,}{\partial V} \Big( \frac{\Phi^2}{\pi \mu_0 \, R} \Big) = \frac{U_{\text{magn}}}{3 V}, \end{equation}$$ que recuerda la ecuación de estado electromagnética de la física relativista: $p = \frac{1}{3} \, \rho$.

Sospecho que$P_{\text{magn} \, 3}$debe ser la presión adecuada del campo magnético. Pero, ¿cómo justificar esto?

toma nota de que$U_{\text{magn}}/V$NO es la densidad de energía del campo, ya que varía de un lugar a otro (el campo fuera de la esfera no es uniforme, ya que es dipolar). Así que no estoy seguro de cómo interpretar el$P$anterior correctamente, ya que es una constante (es decir, no depende de la posición).

Entonces la pregunta es la siguiente:

¿Cuál es la presión magnética total que siente un agente externo que cambia un poco el volumen de una esfera magnetizada? Espero esto:

$$\begin{equation}\tag{8} P_{\text{magn} \, 3} = \frac{U_{\text{magn}}}{3 V} = \frac{\mu_0 \, \mu^2}{(4 \pi R^3)^2} \equiv \frac{B_{\text{int}}^2}{4 \mu_0} \equiv \frac{B_{\text{pole}}^2}{4 \mu_0}. \end{equation}$$