¿Cuál es la expresión correcta para la densidad de energía magnética dentro de la materia?

Question

¿Cuál es la expresión correcta para la densidad de energía magnética dentro de la materia?

energía
Física
magnetostática
campos magnéticos
electromagnetismo
energía potencial

Cham

Usaré una esfera magnetizada como ejemplo, de radio $R$ , con una densidad de magnetización $\vec{M}$ . El momento magnético de la esfera es $\vec{\mu} = \vec{M} \, V$ . El campo magnético interior y exterior es bien conocido:

\begin{aligned} (1) & {\vec{B}}_{adentro} & = \frac{m_{0} \vec{m}}{2 π R^{3}}, \\ (2) & {\vec{B}}_{afuera} & = \frac{m_{0}}{4 π} (\frac{3 (\vec{m} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^{5}} - \frac{\vec{m}}{r^{3}}) . \end{aligned}

$\begin{align}\tag{1} \vec{B}_{\text{inside}} &= \frac{\mu_0 \, \vec{\mu}}{2 \pi R^3}, \\[12pt] \vec{B}_{\text{outside}} &= \frac{\mu_0}{4 \pi} \Big( \frac{3 (\vec{\mu} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5} - \frac{\vec{\mu}}{r^3} \Big). \tag{2} \end{align}$ Entonces, ¿cuál es la forma correcta de calcular la energía total de esa esfera?

\begin{aligned} (3) & {tu}_{magn} & = \int \frac{B^{2}}{2 m_{0}} d^{3} X \\ (4) & = \frac{1}{2 m_{0}} \int_{V_{adentro}} B_{adentro}^{2} d^{3} X + \frac{1}{2 m_{0}} \int_{V_{afuera}} B_{afuera}^{2} d^{3} X, \end{aligned}

$\begin{align}\tag{3} U_{\text{magn}} &= \int \frac{B^2}{2 \mu_0} \, d^3 x \\[12pt] &= \frac{1}{2 \mu_0} \int_{\mathcal{V}_{\text{inside}}} B_{\text{inside}}^2 \, d^3 x + \frac{1}{2 \mu_0} \int_{\mathcal{V}_{\text{outside}}} B_{\text{outside}}^2 \, d^3 x, \tag{4} \end{align}$ o esto ?

\begin{aligned} (5) & {tu}_{2} & = \frac{1}{2} \int \vec{B} \cdot \vec{H} d^{3} X, \end{aligned}

$\begin{align}\tag{5} U_2 &= \frac{1}{2}\int \vec{B} \cdot \vec{H} \, d^3 x, \end{align}$ ¿O alguna otra expresión que involucre las propiedades materiales de la esfera?

¿Cuál es la interpretación correcta de esta ecuación?

\begin{matrix} (6) & \int_{todo el espacio} \vec{B} \cdot \vec{H} d^{3} X = 0, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{6} \int_{\text{all space}} \vec{B} \cdot \vec{H} \, d^3 x = 0, \end{equation}$ como se muestra en Jackson (segunda edición), página 207 (ejercicio 5.13).

hyportnex

esto no es "física", es solo un análisis vectorial porque si

curl u = 0

$\textbf{curl u}=0$ y

div v = 0

$\text{div}\textbf{v}=0$ con

r^{2} | u |

$r^2 |\textbf{u}|$ y

r^{2} | v |

$r^2 |\textbf{v}|$ acotado en el infinito, entonces siempre es cierto que

\int u \cdot v d V = 0

$\int \textbf{u}\cdot\textbf{v} dV=0$

Cham

@hyportnex, está bien, pero esto no da la interpretación física de (5) (tal vez debería eliminar (6) de la pregunta, ya que es un poco irrelevante). Pienso que la energía magnética total en un material está dada por (4), y que (5) da solo una parte de ella.

hyportnex

mi interpretación es que (6) es una advertencia: para los campos magnetostáticos H y B en alguna parte deben estar dirigidos lo suficientemente opuestos , de lo contrario, la integral no puede ser cero. Y, por supuesto, para una esfera uniformemente polarizada, los campos H y B en el interior son exactamente opuestos (antiparalelos), mientras que en el exterior son paralelos entre sí.

Respuestas (1)

¿Cuál es la expresión correcta para la densidad de energía magnética dentro de la materia?

esto no es "física", es solo un análisis vectorial porque si $\textbf{curl u}=0$ y $\text{div}\textbf{v}=0$ con $r^2 |\textbf{u}|$ y $r^2 |\textbf{v}|$ acotado en el infinito, entonces siempre es cierto que $\int \textbf{u}\cdot\textbf{v} dV=0$
@hyportnex, está bien, pero esto no da la interpretación física de (5) (tal vez debería eliminar (6) de la pregunta, ya que es un poco irrelevante). Pienso que la energía magnética total en un material está dada por (4), y que (5) da solo una parte de ella.
mi interpretación es que (6) es una advertencia: para los campos magnetostáticos H y B en alguna parte deben estar dirigidos lo suficientemente opuestos , de lo contrario, la integral no puede ser cero. Y, por supuesto, para una esfera uniformemente polarizada, los campos H y B en el interior son exactamente opuestos (antiparalelos), mientras que en el exterior son paralelos entre sí.

Valerio · Answer 1

La energía del campo magnético es el trabajo requerido para establecer una distribución general de corrientes y campos en estado estacionario. Esta obra es, en forma infinitesimal,

\begin{matrix} (0) & d W = \frac{1}{2} \int (d A \cdot j) d^{3} X \end{matrix}

$\label{0}\tag{0} \delta W = \frac 1 2 \int (\delta \mathbf A \cdot \mathbf J) \ d^3 x$

dónde $\mathbf J$ es la densidad de corriente.

Si estamos interesados en el trabajo realizado en las corrientes libres (macroscópicas), tenemos (a):

\begin{aligned} d W & = \frac{1}{2} \int (d A \cdot j_{F}) d^{3} X \\ = \int d A \cdot (\nabla \times H) d^{3} X \\ = \int [H \cdot (\nabla \times d A) + \nabla \cdot (H \times d A)] d^{3} X \end{aligned}

$\begin{align} \delta W & = \frac 1 2 \int (\delta \mathbf A \cdot \mathbf J_f) \ d^3 x\\ &=\int \delta \mathbf A \cdot (\nabla \times \mathbf H) \ d^3x\\ &=\int [\mathbf H \cdot (\nabla \times \delta \mathbf A) +\nabla \cdot(\mathbf H \times \delta \mathbf A)] \ d^3x \end{align}$

Dónde $\mathbf A$ es el vector potencial y $\mathbf H$ es el campo magnético (b). Asumiendo una distribución de campo localizada, el segundo término en la integral desaparece, y usando $\mathbf B = \nabla \times \mathbf A$ obtenemos

d W = \int H \cdot d B d^{3} X

$\delta W = \int \mathbf H \cdot \delta \mathbf B \ d^3x$

Si suponemos que el material es lineal, es decir, que $\mathbf B = \mu \mathbf H$ , tenemos

H \cdot d B = \frac{1}{2} d (H \cdot B)

$\mathbf H \cdot \delta \mathbf B = \frac 1 2 \delta( \mathbf H \cdot \mathbf B)$

Por tanto, finalmente obtenemos la siguiente expresión para la energía del campo magnético en presencia de materiales lineales:

tu = \frac{1}{2} \int H \cdot B d^{3} X = \frac{1}{2 m} \int B^{2} d^{3} X

$U = \frac 1 2 \int \mathbf H \cdot \mathbf B \ d^3 x = \frac 1 {2 \mu} \int B^2 \ d^3 x$

donde la densidad de energía magnética se escribe en la forma

\begin{matrix} (1) & tu = \frac{1}{2} H \cdot B = \frac{B^{2}}{2 m} \end{matrix}

$\tag{1}\label{1} u = \frac 1 2 \mathbf H \cdot \mathbf B = \frac {B^2} {2 \mu}$

Para derivar $\ref{1}$ , hicimos uso de la forma macroscópica de las ecuaciones de Maxwell. En particular, asumimos el uso de la cuarta ecuación de la forma (despreciando la corriente de desplazamiento):

\nabla \times H = j_{F}

$\nabla \times \mathbf H = \mathbf J_f$

dónde $\mathbf J_f$ es la corriente libre (macroscópica).

Esto significa que $\ref{1}$ representa el trabajo realizado sobre las corrientes libres al establecer la distribución de corrientes y campos en estado estacionario.

También sería posible utilizar la forma microscópica de las ecuaciones de Maxwell, en particular

\nabla \times B = m_{0} j

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J$

dónde $\mathbf J$ es la corriente total , es decir, la suma de las corrientes libre y ligada :

j = j_{F} + j_{b}

$\mathbf J = \mathbf J_f + \mathbf J_b$

En este caso, no hay $\mathbf H$ vector y la densidad de energía magnética es (c)

\begin{matrix} (2) & {tu}^{'} = \frac{B^{2}}{2 m_{0}} \end{matrix}

$\tag{2}\label{2} u' = \frac{B^2}{ 2 \mu_0}$

Esto representa el trabajo realizado en cada corriente al establecer el campo magnético, incluidas las corrientes ligadas, es decir

\begin{aligned} tu & = {tu}_{F} \\ {tu}^{'} & = {tu}_{F} + {tu}_{b} \end{aligned}

$\begin{split} u & = u_f\\ u'& = u_f + u_b\\ \end{split}$

Esto significa que la energía requerida para establecer las corrientes ligadas se puede calcular para un material lineal como

\begin{matrix} (3) & {tu}_{b} = {tu}^{'} - tu = \frac{B^{2}}{2} (\frac{1}{m_{0}} - \frac{1}{m}) = \frac{B^{2}}{2} (\frac{m - m_{0}}{m m_{0}}) \end{matrix}

$\tag{3}\label{3} u_b = u'-u = \frac{B^2}2 \left( \frac 1 {\mu_0} - \frac 1 {\mu} \right) = \frac{B^2} 2 \left( \frac{\mu-\mu_0}{\mu \mu_0} \right)$

Dado que (para un material lineal) tenemos

METRO = (\frac{m - m_{0}}{m m_{0}}) B

$\mathbf M = \left( \frac{\mu-\mu_0}{\mu \mu_0} \right) \mathbf B$

dónde $\mathbf M$ es la magnetización, podemos escribir $\ref{3}$ como

\begin{matrix} (4) & {tu}_{b} = \frac{1}{2} METRO \cdot B \end{matrix}

$\tag{4}\label{4} u_b = \frac 1 2 \mathbf M \cdot \mathbf B$

Y de hecho esta expresión es válida para todos los materiales, no solo para los lineales (d).

En cuanto a la expresión

\int H \cdot B d^{3} X = 0

$\int \mathbf H \cdot \mathbf B \ d^3 x = 0$

en el libro de Jackson, el texto completo dice:

Un campo magnetostático se debe enteramente a una distribución localizada de magnetización permanente. Muestra esa
$\int H \cdot B d^{3} X = 0$ $\int \mathbf H \cdot \mathbf B\ d^3 x = 0$ siempre que la integral se tome en todo el espacio.

Entonces, esta es una declaración de que (en presencia de materiales lineales) el trabajo realizado en corrientes libres al establecer un campo magnetostático es 0. Sospecho que esto es más general, es decir, válido para cualquier tipo de relación entre $\mathbf H$ y $\mathbf B$ , pero por el momento no puedo probarlo.

(a) JD Jackson, Electrodinámica clásica (1962) 6.2

(b) Adopto la nomenclatura en la que $\mathbf H$ es el campo magnético y $\mathbf B$ la densidad de flujo magnético (o inducción magnética), que es la utilizada por Jackson.

(c) DJ Griffiths, Introducción a la electrodinámica , 3ª ed. (1999), 7.2.4 y 8.1.2. Es especialmente interesante leer la nota al pie en la página 348.

(d) BD Popovic Evaluación de la densidad de energía magnética en materia magnetizada , PROC. EEI, vol. 113, No. 7, julio de 1966.

En el caso de la esfera magnetizada definida en la pregunta, conocemos las corrientes ligadas. Están todos en la superficie, y por eso consideré la energía (3). Por cierto, deberías agregar una etiqueta a tus ecuaciones principales.
@Cham Refiné la respuesta. Creo que finalmente entendí cómo funciona.
En el caso de mi esfera, es muy fácil calcular la energía "ligada" de tu (4), y da exactamente lo mismo que la energía total de tu (2) (y los cálculos son mucho más fáciles, no es ¡incluso divertido!). Entonces es consistente.
¿Hay alguna manera de eliminar la suposición de que el material es lineal? Parece que debería haberlo, ya que mencionas que algunas de las ecuaciones resultantes son ciertas en general. ¿Cómo funciona? Tenga en cuenta que la pregunta involucra un material permanentemente magnetizado, por lo que este no es un material lineal.
@JJMalone La ecuación (2) es cierta en general y no se supone que el material sea lineal. El problema es calcular $u_b$ y $u_f$ por separado. Puede usar (4) (que es general, consulte la referencia (d)) y encuentre $u_b$ o tomar la expresión general para $\delta W$ y encontrar $u_f$ , pero necesitas la relación constitutiva entre $M$ y $B$ en el primer caso, o $H$ y $B$ en el segundo caso. En general, las cosas serán complicadas porque la integral puede depender de la historia de la muestra (histéresis). Consulte también farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node78.html

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