¿Cuándo ∇×B=0∇×B=0\nabla \times B =0?

La ley de Ampere dice que

$$\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{J} + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{E}$$

por lo que "lejos de las fuentes" significa que la densidad de corriente$\boldsymbol{J}$puede tomarse igual a cero y que no hay campos eléctricos variables en el tiempo. Esta última es en realidad una aproximación general que a menudo se puede hacer para fenómenos de frecuencia relativamente baja (incluido el estado estacionario).

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En cuanto a las otras preguntas, esa identidad en realidad no se aplica aquí, porque$\mathbf{m\cdot B}$no es el producto escalar de dos campos vectoriales . En particular, las derivadas espaciales de$\mathbf{m}$no están definidos.

En cambio, podemos usar la notación de índice para obtener la identidad real que estamos buscando. Tenga en cuenta que

$$[\nabla(\mathbf{m\cdot B})]_i = \partial_i m_j B_j = m_j\partial_i B_j$$

Esto no tiene una forma vectorial inmediatamente obvia, pero podemos hacer la siguiente hechicería (que, para ser sincero, lo hice al revés):

$$m_j\partial_iB_j = (m_j\partial_iB_j - m_j\partial_jB_i) + m_j\partial_jB_i$$ $$= (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}) m_j \partial _l B_m + m_j\partial_j B_i$$ $$=\epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} m_j\partial_lB_m + m_j\partial_j B_i$$ $$=\epsilon_{ijk} m_j (\epsilon_{klm}\partial_l B_m) + m_j \partial_j B_i$$ $$= [ \mathbf{m}\times (\nabla \times \mathbf{B}) + (\mathbf{m}\cdot \nabla)\mathbf{B}]_i$$ y así si$\mathbf{m}$y$\mathbf{B}$son un vector constante y un campo vectorial respectivamente, la identidad vectorial aplicable es

$$\nabla(\mathbf{m\cdot B}) = \mathbf{m} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + (\mathbf{m} \cdot \nabla)\mathbf{B}$$

Esto es, por supuesto, lo que obtendríamos si tratáramos$\mathbf{m}$como un campo vectorial espacialmente constante, por lo que podría agitar las manos y decir que$\nabla \mathbf{m}$y$\nabla \times \mathbf{m}$son iguales a cero. Sin embargo, debe recordar que esas expresiones no están formalmente definidas.

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Por último, quiero aclarar que no existe una "propiedad conmutativa del producto escalar" cuando se trata del operador de divergencia, porque la divergencia no es un producto escalar . Solo parece uno (y solo en coordenadas cartesianas), por lo que$div(\mathbf{B}) = \nabla \cdot \mathbf B$no es más que un recurso mnemotécnico útil.

Más específicamente,$div(\mathbf{B}) = \nabla \cdot \mathbf{B}$es un campo escalar que resulta ser igual a$0$en todos lados. Por otro lado,

$$\mathbf{B}\cdot \nabla = B_i\partial_i = B_x\frac{\partial}{\partial x} + B_y \frac{\partial}{\partial y} + B_z \frac{\partial}{\partial z}$$ es en sí mismo un operador diferencial, que puede aplicar a campos escalares o vectoriales:

$$(\mathbf{B}\cdot \nabla)f = \mathbf{B}\cdot (\nabla f)$$ o $$(\mathbf{B}\cdot \nabla)\mathbf{ A} = \big[\mathbf{B}\cdot (\nabla A_x)\big]\hat e_x + \big[\mathbf{B}\cdot (\nabla A_y)\big]\hat e_y+\big[\mathbf{B}\cdot (\nabla A_z)\big]\hat e_z$$