Hallar el potencial vectorial de un cilindro infinito con corriente superficial uniforme

Esta es la segunda parte de un problema en la "Introducción a la electrodinámica 4ª edición" de Griffith (problema 6.16).

La primera parte fue encontrar el campo magnético dentro de un cable coaxial (2 cascarones cilíndricos concéntricos con radios$a$y$b$,$b>a$, y con un medio linealmente magnetizable de$X_{m}$entre ellos). Pude lograr esto usando la Ley de Ampere para$\textbf{H}$.

La segunda parte es verificar esta solución encontrando las corrientes ligadas a partir de sus definiciones (en términos de magnetización$\textbf{M}$, y luego encontrar el campo producido por esas corrientes ligadas.

encontre eso$\textbf{J}_{b}=0$mientras

$$\textbf{K}_{b}=\frac{X_{m}I}{2\pi s}\hat{I}$$ Dónde $s$es el radio de la cáscara cilíndrica y $\hat{I}$es la dirección de la corriente en esa capa en particular. Entonces, el problema debería reducirse a encontrar el campo magnético producido por la corriente superficial.

Intenté hacer exactamente eso calculando el vector potencial$\textbf{A}$de cada cilindro y luego a través del principio de superposición, obtener el total$\textbf{A}$de donde obtengo obtener el total$\textbf{B}$a través de$\textbf{B}=\nabla\times\textbf{A}$.

El problema con el que me encontré es cuando intenté integrar

$$\textbf{A}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int\frac{\textbf{K}}{R}da'$$ sobre toda el área del cilindro, obtengo una integral no convergente. En coordenadas cilíndricas, $$R=\sqrt{s^{2}+a^{2}-2as*cos(\phi'-\phi)+z^{2}-2zz'+z'^{2}}$$ $$da'=ad\phi'dz'$$ $$\textbf{K}=K\hat{z}$$ con límites de integración: $\phi': (0,2\pi)$, $z': (-\infty,\infty)$.

Lo que hice fue reescrito$R$completando el cuadrado para$z'$y haciendo la sustitución$z'-\alpha=\beta tan\theta$, que cambia los límites de integración en$\theta$a$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$. Pero esto también reduce el integrando a$sec\theta d\theta$y la integral diverge.

¿Cometí un error de cálculo? Suponiendo que el principio de superposición se aplica a$\textbf{A}$, entonces la única forma en que puedo obtener un finito$\textbf{B}$es si la suma de los infinitos$\textbf{A}$'s es de alguna manera finito.