¿Qué es la ruptura espontánea de la simetría en los sistemas cuánticos?

Acabo de descubrir este sitio web muy interesante a través de la página de inicio del profesor Wen. Gracias profesor Wen por la interesante pregunta. Aquí está mi "respuesta" tentativa:

La ruptura espontánea de la simetría en el estado fundamental de un sistema cuántico se puede definir como el entrelazamiento de largo alcance entre dos puntos muy separados de este sistema, en cualquier estado fundamental que conserve las simetrías globales del sistema.

Para ser más precisos, denote$G$como el grupo de simetría del sistema y$|\Psi\rangle$un estado fundamental que lleva una representación 1d de$G$. Para un ferroimán de Ising, el estado fundamental será$|\Psi_\pm\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\text{all up}\rangle \pm |\text{all down}\rangle\right)$. Luego considere dos puntos 1 y 2 separados por distancia$R$en el espacio, y dos bolitas alrededor de los puntos 1 y 2 con radio$r\ll R$, denotado por$B_1$y$B_2$. Definir$\rho_1$,$\rho_2$y$\rho_{12}$como las matrices de densidad reducida de la región$B_1$,$B_2$y$B_1+B_2$, y correspondientemente la entropía$S_{1}=-tr(\rho_1\log \rho_1)$(y lo mismo para$2$y$12$). La información mutua entre las dos regiones se define como$I_{12}=S_1+S_2-S_{12}$. Si$I_{12}> 0$en el$R\rightarrow \infty$límite para todos los estados fundamentales simétricos, se considera que el sistema se encuentra en un estado de ruptura de simetría espontánea.

En el ejemplo de Ising FM,$S_{12}=\log 2$para ambos estados fundamentales$|\Psi_\pm\rangle$.

Me temo que es solo una reformulación de ODLRO, pero podría ser una forma alternativa de ver la ruptura espontánea de la simetría.

Esta pregunta publicada por el Prof. Wen es tan profunda que había dudado en responder. Sin embargo, motivado por la perspicaz respuesta de Jimmy, finalmente decidí unirme a la discusión y compartir mis ideas inmaduras.

1) Quantum SSB es una dinámica cuántica no lineal más allá de la descripción de la ecuación de Schordinger.

Con respecto al modelo de Ising de campo transversal mencionado en los comentarios de la pregunta, con un campo B pequeño, el estado fundamental es un estado de gato de Schordinger. Preguntar cómo ocurre la SSB en el$B\to 0$límite es lo mismo que preguntar cómo el estado del gato colapsa a un estado definitivo de vida o muerte. La decoherencia cuántica juega aquí un papel clave. Sin embargo, la decoherencia cuántica es una dinámica irreversible con producción de entropía que, en mi opinión, no puede describirse mediante la dinámica lineal de la mecánica cuántica que conserva la entropía. Para comprender la SSB cuántica, es posible que primero debamos comprender la dinámica de la decoherencia cuántica.

2) Quantum SSB es el resultado de una nueva normalización de la información, que puede ser descrita por la red de tensores RG.

La clave para entender la decoherencia cuántica es entender cómo se produjo la entropía. Durante mucho tiempo había sido un misterio cuál es el origen de la entropía. Hasta que Shannon relacionó la entropía con la información, empezamos a darnos cuenta de que la entropía se produce por la pérdida de información. La información se pierde en los experimentos inevitablemente porque solo podemos recopilar y procesar una cantidad finita de datos. Debido a que todos los experimentos se llevan a cabo bajo una escala finita de energía e información (o entropía), solo la teoría efectiva de baja energía y baja información es significativa para los físicos. La técnica del grupo de renormalización (RG) se ha desarrollado para obtener con éxito la teoría efectiva de baja energía. Ahora necesitamos desarrollar el RG informacional para obtener la teoría efectiva de baja información. DMRG y la red de tensores RG desarrollada en los últimos años son, de hecho, ejemplos de RG informativo. La información cuántica se pierde a través del truncamiento de la matriz de densidad, y al mismo tiempo se produce entropía, lo que hace posible la decoherencia cuántica y la SSB cuántica. De hecho, la SSB cuántica se puede observar tanto en DMRG como en la red de tensores RG, como sé. En esta línea de pensamiento, la SSB cuántica no es un estado final de evolución en el tiempo bajo la dinámica cuántica lineal, sino un punto fijo de información RG del estado cuántico de muchos cuerpos, que no es lineal y está más allá de nuestra comprensión actual de los libros de texto cuánticos. mecánica. Quantum SSB se puede observar tanto en DMRG como en la red de tensores RG, como sé. En esta línea de pensamiento, la SSB cuántica no es un estado final de evolución en el tiempo bajo la dinámica cuántica lineal, sino un punto fijo de información RG del estado cuántico de muchos cuerpos, que no es lineal y está más allá de nuestra comprensión actual de los libros de texto cuánticos. mecánica. Quantum SSB se puede observar tanto en DMRG como en la red de tensores RG, como sé. En esta línea de pensamiento, la SSB cuántica no es un estado final de evolución en el tiempo bajo la dinámica cuántica lineal, sino un punto fijo de información RG del estado cuántico de muchos cuerpos, que no es lineal y está más allá de nuestra comprensión actual de los libros de texto cuánticos. mecánica.

Bei Zeng y yo escribimos un artículo http://arxiv.org/abs/1406.5090 , que aborda esta pregunta:

Una fase de ruptura de simetría para el grupo finito G es una clase equivalente gLU formada por estados simétricos de muchos cuerpos que tienen entrelazamiento GHZ.

En otras palabras, una fase de ruptura de simetría es un conjunto de

1. estados simétricos$U_g \Psi = \Psi$hasta una fase,$g \in G$, y
2. esos estados simétricos tienen el mismo entrelazamiento GHZ$\Psi = \sum_\alpha \Psi_\alpha ,\ \ \alpha \in G/H,\ \ H\ \subset G$, dónde$\Psi_\alpha$son localmente distinguibles.

Decimos que esos estados simétricos son equivalentes. El conjunto de estados simétricos equivalentes es una fase de ruptura de simetría.

Entonces ruptura de simetría = entrelazamiento GHZ que se clasifican por pares$(G , H),\ H \subset G$.

Más precisamente:

1. Un estado simétrico de muchos cuerpos tiene una ruptura de simetría espontánea, lo que implica que el estado tiene un entrelazamiento GHZ.

2. Uno puede detectar la ruptura espontánea de la simetría en un estado simétrico de muchos cuerpos incluso sin conocer el grupo y/o el parámetro de orden de la simetría. Uno puede detectar la ruptura espontánea de la simetría en un estado simétrico de muchos cuerpos utilizando solo sondas que respetan la simetría.

3. El estado fundamental exacto simétrico de un hamiltoniano simétrico genérico tiene una ruptura de simetría espontánea si tiene entrelazamiento GHZ.

Estoy seguro de que el Prof. Wen entiende muy bien esta pregunta y está publicando esto solo para inspirar algunas discusiones. Así que voy a seguir adelante y dar mis 2 centavos.

Una ruptura de simetría espontánea clásica ocurre cuando el estado fundamental clásico rompe la simetría del hamiltoniano. Por ejemplo, para un modelo clásico de Ising en 1D, la magnetización espontánea en una dirección particular ocurre a una T baja, lo que rompe el$S\rightarrow-S$simetría del hamiltoniano.

Una ruptura de simetría cuántica espontánea no significa necesariamente que el estado fundamental cuántico rompa la simetría del hamiltoniano; en cambio, está firmado por la división de la degeneración del estado fundamental. Digamos en el caso del modelo transversal de Ising,$H=-\sum{S_i^z S_j^z}-B\sum{S_i^x}$. El estado fundamental del hamiltoniano para muy pequeñas$B$es la superposición de todos los giros hacia arriba y todos los giros hacia abajo, que todavía tiene el$S_z\rightarrow -S_z$simetría; pero ahora se pierde la degeneración del estado fundamental --- el estado fundamental ahora es único, en lugar de tener una degeneración doble.

Esta es solo una respuesta preliminar, así que no dude en corregirme/mejorar la respuesta.

Creo que una forma de visualizar la ruptura espontánea de la simetría en los sistemas cuánticos es la siguiente:

El espacio de Hilbert de la teoría es de dimensión infinita. Dado un hamiltoniano, un método para buscar soluciones aproximadas de su espectro es formular un principio variacional con respecto a un espacio de Hilbert de dimensión finita de funciones de prueba.

En muchos casos cuando hay un grupo de simetría continuo$G$del hamiltoniano, la variedad de funciones de prueba se puede elegir como un simpléctico homogéneo$G$-espacio, lo que implica que el (álgebra de Lie de) el grupo de simetría genera todos los observables y el hamiltoniano aproximado es algún elemento en el álgebra envolvente universal.

En estos tipos de variedades, la dinámica cuántica y clásica son muy similares y ofrecen una relación simple entre la imagen clásica y la cuántica de la ruptura espontánea de la simetría;

Explícitamente, cuando el hamiltoniano clásico (aproximado) en la variedad de función de prueba adquiere un mínimo en un valor esperado que no desaparece de algún generador, el vacío del hamiltoniano cuántico en la cuantización de esta variedad se vuelve degenerado.

Una posible comprensión de SSB en los sistemas cuánticos puede ser la siguiente: todos sabemos que clásicamente existe una variedad de estados fundamentales y uno puede elegir ubicar el estado fundamental en un punto que rompe la simetría. Sin embargo, en los sistemas cuánticos, debido al principio de superposición, se pueden formar combinaciones lineales que restauran la simetría. Sin embargo, SSB significa que para los estados de baja energía hay una cierta base (que son los estados "clásicos"), de modo que, si uno observa los elementos de la matriz de los operadores físicos locales (operadores con soporte local) entre diferentes bases establece que siempre se anulan en el límite termodinámico. Esto puede proporcionar una caracterización cuántica de SSB, aunque no estoy completamente seguro de que sea suficiente y necesario.

Obviamente, hay algunos movimientos manuales en la definición anterior, ya que estamos hablando de "base" solo para estados de baja energía. Pero todavía lo encuentro una forma útil de entender SSB.

Una forma de estudiar el sistema cuántico que se parece mucho a la discusión en la física clásica es usar la acción efectiva (cuántica): Calcular la función de partición$Z[B]$en función del campo externo. Después$\beta\log(Z)$es la energia libre$F$y$\partial F/\partial B$es la magnetizacion$m$. Ahora realice una transformación de Legendre para obtener la acción cuántica efectiva$\Gamma[m]$. Luego buscamos una acción efectiva que tenga la forma del logotipo de intercambio de pila de física (con la advertencia habitual de que, estrictamente hablando, la acción efectiva siempre es convexa).

La mejor respuesta que se me ocurrió es arXiv:1205.4773v1

Ruptura espontánea de simetría en mecánica cuántica no relativista

R. Muñoz, A. García-Quiroz, Ernesto López-Chávez, Encarnación Salinas-Hernández

The advantages and disadvantages of some pedagogical non-relativistic
quantum-mechanical models, used to illustrate spontaneous symmetry breakdown,
are discussed. A simple quantum-mechanical toy model (a spinor on the line,
subject to a magnetostatic interaction) is presented, that exhibits the
spontaneous breakdown of an internal symmetry. 

Comentarios: 19 páginas, 5 figuras. Nota del administrador de arXiv: superposición sustancial de texto con arXiv: 1111.1213

En la medida en que la SSB provoque o corresponda a la existencia de un orden arbitrario de largo alcance en una separación similar al espacio, puede entenderse en términos de violación de la descomposición de grupos. Como tal, SSB corresponde a la existencia de un conjunto de vectores de vacío en el espacio de Hilbert que es invariante bajo la acción de los operadores de campo (dentro del enfoque axiomático de Wightman, parte de la prueba del teorema de reconstrucción de Wightman es mostrar que la descomposición de conglomerados , una propiedad de los VVE, es equivalente a la reducibilidad del espacio de Hilbert).

Siempre que los observables de una teoría sean un subconjunto no trivial del conjunto de operadores que se pueden construir a partir de los operadores de campo, generalmente porque se requiere que los observables sean invariantes bajo la acción de alguna simetría, el estado de vacío será reducible bajo la acción de los observables, y habrá una violación de la descomposición del grupo.

La descomposición de grupos se restablece en gran medida mediante la introducción de campos de calibre (que considero que no forman parte de SSB, aunque, por supuesto, se podría considerar que SSB incluye la introducción de campos de calibre). Para mí, no está claro si la descomposición de grupos se restablece por completo con la introducción de campos de indicadores.

EDITAR: Para mí, esto es moderadamente intuitivo, pero, centrándome en su último párrafo, supongo que no parecerá pictórico para la mayoría de las personas, y es solo un poco pictórico para mí. Considero que depende principalmente de la intuición algebraica .

El análogo es sectores de superselección. Si una transformación de simetría que actúa sobre un estado cuántico lo pone en un estado de superselección diferente, decimos que la simetría en cuestión se rompe espontáneamente.

La respuesta está en la decoherencia. para los sistemas clásicos, si un subsistema rompe una simetría, el sistema como un todo también rompe la simetría. no así en la mecánica cuántica debido al entrelazamiento. aquí radica la complicación.

piense en los estados del puntero de zurek. ahí está la pista. Puedo darle un estado cuántico de muchos cuerpos que literalmente es invariable bajo la simetría en cuestión, pero si se descompone en estados de punteros decoherentes que no son invariantes, ¿puede decir que la simetría se rompe espontáneamente? pero el análisis de zurek solo funciona para sistemas abiertos.

¿Puede esto funcionar para sistemas cerrados finitos? desafortunadamente no debido a las recurrencias de poincaré. Podríamos pensar ingenuamente que una simetría se rompe espontáneamente, pero espere lo suficiente y las ligeras (o no tan ligeras) diferencias de energía entre los diversos valores propios de energía correspondientes a diferentes irrepeticiones conducirán a un lavado en las diferencias de fase en los estados propios de energía que llevarán información sobre la ruptura de la simetría. .

¿Cuáles son los estados del puntero de Zurek? aquellos que preservan la información por más tiempo mientras minimizan la generación dinámica de enredos con el medio ambiente. a veces, un estado de puntero invariante bajo una simetría generará más entrelazamiento con el entorno que uno no invariante.

abundan las complicaciones. tome una colección de átomos de helio-4 a baja temperatura. fase superfluida. u(1) simetría correspondiente al número de átomos he-4. coloque los átomos en una caja muy sellada donde no puede pasar ni un solo átomo de he-4 pero sí puede pasar la información. idealizado, sí, pero tengan paciencia conmigo. estado cuántico con un valor específico fijo para el número de átomos de he-4. invariante bajo u(1)? ¿Cuáles son los estados del puntero? desafortunadamente, ¿no se condensan estados con una superposición en número de átomos de he-4? pero la generación dinámica del entrelazamiento ambiental sigue siendo pequeña en cualquier caso de todos modos: número de átomo fijo y condensado. solo que durante períodos de tiempo muy largos, el número de átomos fijo tiene un entrelazamiento ligeramente mayor. porque dominarán los procesos dinámicos sensibles al número total de átomos de he-4, pero solo debido a la supresión absoluta de la permeabilidad. irreal, no?

pero relájate. hacer la caja ligeramente permeable. simplemente deje pasar uno o dos átomos de he-4 después de un tiempo relativamente largo. ¿voilá? cambios de estado del puntero a favor de los condensados? confundido todavía? el número de átomos de he-4 en el ambiente está en una superposición entrelazada con el número de átomos de he-4 en la caja. ¡¡¡EL ENTORNO!!! la simetría debe romperse en el entorno , no en el sistema.

pero ¿qué pasa con el universo como un todo? no tiene ambiente externo. aah, pero no hay simetrías globales en la gravedad cuántica. ok, ¿qué pasa con las simetrías de calibre entonces? oh chico, otra enorme lata de gusanos. ¿Qué es la ruptura espontánea de la simetría en los sistemas QUANTUM GAUGE? eso vale otra pregunta.

Esta pregunta parece estar basada en una premisa falsa, a saber, que los sistemas que son clásicamente no lineales son lineales cuando se cuantifican. Realmente, lo contrario tiende a ser el caso. Por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell en el vacío son exactamente lineales, pero en QED hay una no linealidad debido a las interacciones mediadas por bucles de electrones.

La mecánica cuántica es lineal al nivel de la ecuación de Schrödinger. Si interpreta la función de onda como un análogo cuántico de una distribución de probabilidad, entonces la mecánica clásica también es lineal en este nivel. Por ejemplo, si un sistema está en estado$A_i$con probabilidad$p_i$para todos$i$, y la posibilidad de que evolucione de$A_i$a$B$es$q_i$, entonces la probabilidad de que termine en el estado$B$es$\sum_i p_i q_i$. Clásicamente, no puede haber una interacción no lineal entre las alternativas porque solo ocurre una de ellas. La mecánica cuántica conserva esa linealidad, aunque la justificación de la misma en términos de una realidad clásica subyacente ya no funciona.

Clásicamente, si comienza con una distribución uniforme (o al menos simétrica) sobre microestados de un fluido y deja que cristalice, terminará con una distribución simétrica sobre todas las orientaciones posibles del cristal resultante. En cierto sentido, el sistema sigue siendo simétrico, si tomas "el sistema" como esta distribución de probabilidad, pero nadie en el mundo puede ver esa simetría; solo ven una orientación particular del cristal. En QM sucede lo mismo.