¿Preguntas ingenuas sobre el concepto de Lagrangiano efectivo y ecuaciones de movimiento?

Question

¿Preguntas ingenuas sobre el concepto de Lagrangiano efectivo y ecuaciones de movimiento?

Física
integral de trayectoria
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
teoría cuántica de campos
teoría del campo efectivo

kai li

Consideremos un circuito LC que contiene un momento dipolar eléctrico, el sistema cuántico (campo eléctrico $E$ acoplado con un momento dipolar) se puede describir mediante la integral de trayectoria

Z = \int D mi D X {mi}^{i \int d t L},

$Z=\int DEDxe^{i\int dtL},$ donde el lagrangiano total

L = \frac{1}{2 gramo} ({\dot{mi}}^{2} - ω_{L C}^{2} {mi}^{2}) + \frac{metro}{2} {\dot{X}}^{2} - \frac{metro ω_{0}^{2}}{2} X^{2} + mi X mi .

$L=\frac{1}{2g}(\dot{E}^2-\omega _{LC}^2E^2)+\frac{m}{2}\dot{x}^2-\frac{m\omega _{0}^2}{2}x^2+exE.$ Después de integrar el dipolo

x

$x$ , obtenemos un Lagrangiano efectivo

L_{e f f}

$L_{eff}$ para el campo electrico

L_{mi F F} = \frac{1}{2 gramo} ({\dot{mi}}^{2} - ω_{L C}^{2} {mi}^{2}) + \frac{{mi}^{2}}{2 metro} mi (\partial_{t}^{2} + ω_{0}^{2})^{- 1} mi .

$L_{eff}=\frac{1}{2g}(\dot{E}^2-\omega _{LC}^2E^2)+\frac{e^2}{2m}E(\partial_t^2+\omega _{0}^2)^{-1}E.$

Por otro lado, desde el punto de vista clásico , resolviendo el Lagrangiano total $L$ , podemos obtener una ecuación de movimiento de cuarto orden para el campo eléctrico

\begin{matrix} (a) & [\partial_{t}^{4} + (ω_{0}^{2} + ω_{L C}^{2}) \partial_{t}^{2} + ω_{0}^{2} ω_{L C}^{2} - \frac{{mi}^{2} gramo}{metro}] mi = 0. \end{matrix}

$[\partial_t^4+(\omega _{0}^2+\omega _{LC}^2)\partial_t^2+\omega _{0}^2\omega _{LC}^2-\frac{e^2g}{m}]E=0.\tag{a}$

Mis preguntas son:

¿Puede el segundo término en $L_{eff}$ escribirse como una función de $\dot{E}$ y $E$ ?
¿Podemos derivar una ecuación 'Euler-Lagrangiana' a partir de la ecuación Lagrangiana efectiva ? $L_{eff}$ ? En caso afirmativo, ¿es esta ecuación la misma que la anterior ecuación de movimiento de cuarto orden? $(a)$ del sistema clásico?
¿Podemos construir otro Lagrangiano efectivo a partir de la dinámica clásica que dé lugar a la Ec. $(a)$ ? ¿El concepto de Lagrangiano efectivo SOLO tiene sentido para el sistema cuántico ?

kai li

Creo que puedo responder mi Q3 ahora: Clásicamente, sin el método integral de ruta, exprese

x

$x$ en términos de

E

$E$ resolviendo la ecuación de Euler-Lagrangiana para

x

$x$ derivado del lagrangiano total

L

$L$ , luego sustituya

x

$x$ de nuevo en

L

$L$ , y obtendremos el mismo Lagrangiano efectivo

L_{e f f}

$L_{eff}$ que contiene solo

E

$E$ .

xiaohuamao

Recuerdo que lo que uno saca de las MOE de

L

$L$ 's correspondiente

H

$H$ pueden considerarse no solo EOM clásicas sino también ecuaciones de operadores en el sentido de cuantización canónica. Como lo muestra usted, clásico

L_{e f f}

$L_{eff}$ es igual a cuanto

L_{e f f}

$L_{eff}$ . Por lo tanto, supongo que esto solo significa que la cuantización canónica reproduce el mismo resultado que la integral de ruta. No estoy seguro de todos modos... ¿Cómo piensas?

Respuestas (2)

¿Preguntas ingenuas sobre el concepto de Lagrangiano efectivo y ecuaciones de movimiento?

Creo que puedo responder mi Q3 ahora: Clásicamente, sin el método integral de ruta, exprese $x$ en términos de $E$ resolviendo la ecuación de Euler-Lagrangiana para $x$ derivado del lagrangiano total $L$ , luego sustituya $x$ de nuevo en $L$ , y obtendremos el mismo Lagrangiano efectivo $L_{eff}$ que contiene solo $E$ .
Recuerdo que lo que uno saca de las MOE de $L$ 's correspondiente $H$ pueden considerarse no solo EOM clásicas sino también ecuaciones de operadores en el sentido de cuantización canónica. Como lo muestra usted, clásico $L_{eff}$ es igual a cuanto $L_{eff}$ . Por lo tanto, supongo que esto solo significa que la cuantización canónica reproduce el mismo resultado que la integral de ruta. No estoy seguro de todos modos... ¿Cómo piensas?

Trimok · Answer 1

1: no lo creo

2: Tenga en cuenta que $L_{eff}$ , puede escribirse, gracias a una integración por partes $(\partial_t E)^2 = \partial_t(E\partial_t E) - E \partial_t^2E$ , y despreciando el término de superficie debido a la derivada total :

\begin{matrix} (1) & L_{mi F F} = mi (\frac{1}{2 gramo} (- \partial_{t}^{2} - ω_{L C}^{2}) + \frac{{mi}^{2}}{2 metro} (\partial_{t}^{2} + ω_{0}^{2})^{- 1}) mi \end{matrix}

$L_{eff}=E\quad (\frac{1}{2g}(-\partial_t^2 -\omega _{LC}^2)+\frac{e^2}{2m}(\partial_t^2+\omega _{0}^2)^{-1})\quad E \tag{1}$

La ecuación de movimiento es entonces:

\begin{matrix} (2) & (\frac{1}{2 gramo} (- \partial_{t}^{2} - ω_{L C}^{2}) + \frac{{mi}^{2}}{2 metro} (\partial_{t}^{2} + ω_{0}^{2})^{- 1}) mi = 0 \end{matrix}

$(\frac{1}{2g}(-\partial_t^2 -\omega _{LC}^2)+\frac{e^2}{2m}(\partial_t^2+\omega _{0}^2)^{-1})\quad E = 0 \tag{2}$

multiplicando $(2)$ por $(\partial_t^2+\omega _{0}^2)$ te da la ecuacion $(a)$

3: Diferentes lagrangianos pueden dar la misma ecuación de movimiento.

Wow, tu explicación al Q2 es muy clara, muchas gracias. Por cierto, no tengo claro cómo se obtiene la ecuación (2) de Lagrangian (1)? Sólo conozco la llamada ecuación Euler-Lagrangiana derivada de una ecuación Lagrangiana ordinaria $L(E,\dot{E})$ que es una función de solo las variables de coordenadas y velocidad.
@K-boy: reconozco que es más una derivación formal que una derivación estándar. Supongo aquí que un lagrangiano de forma $L_{eff}=E\, O \, E$ , dónde $O$ es un operador, corresponde a ecuaciones de movimiento $O \,E=0$ , porque, en cierto sentido, el lagrangiano depende solo de $E$ (y no en $\dot E$ ), por lo que puede aplicar formalmente las ecuaciones de Euler-Lagrange, aquí $\frac{\partial L_{eff}}{\partial E} = 0$
:Inspirado por su comentario, si existe un principio de acción mínima para la acción efectiva $S_{eff}=\int dtL_{eff}$ , y además el operador $O$ se supone que es positivo , entonces $OE=0$ puede ser una posible solución. Entonces, ¿cuál es tu opinión?
Debo confesar que no veo por qué la positividad de $O$ debe ser importante aquí.
Si $O$ no es positivo, entonces existe una función $f(t)$ tal que $\int dtfOf<0=\int dtEOE$ , dónde $OE=0$ , lo que significa que la solución $E$ NO corresponde a la acción mínima $S_{eff}$ .
Las ecuaciones de Euler-Lagrange dan soluciones que pueden ser un máximo o mínimo local (o global) para la acción. Por lo tanto, es su trabajo verificar que sea un mínimo, si está buscando una solución de este tipo.
Y matemáticamente hablando, $OE=0$ no siempre da la ecuación de movimiento correcta. Por ejemplo, tomemos $O=\partial _t$ , entonces $OE=0$ da la ecuación $\partial _tE=0$ , mientras que la ecuación de Euler-Lagrangiana da una ecuación trivial $\partial _tE=\partial _tE$ . Y aquí $O=\partial _t$ NO es positivo .
Sí correcto. Pero todo lagrangiano con la forma $E\dot E$ son especiales, porque, sí, no se puede obtener ninguna ecuación de movimiento. Entonces, probablemente tengamos que restringirnos a operadores diferenciales de segundo orden.

qmecanico · Answer 2

El sistema de OP son dos osciladores armónicos acoplados

\begin{matrix} (1) & L = \frac{1}{2} (metro {\dot{X}}^{2} - k X^{2}) + \frac{1}{2} (METRO {\dot{y}}^{2} - k y^{2}) - k X y . \end{matrix}

$\tag{1} L~=~\frac{1}{2}(m\dot{x}^2 - k x^2) + \frac{1}{2}(M\dot{y}^2 - K y^2) - \kappa xy.$

Parece un alto precio a pagar para crear una formulación no local mediante la integración de una variable por fuerza bruta como lo hace OP. Aquí, en cambio, encontramos los modos normales del sistema de dos osciladores armónicos acoplados.

Las ecuaciones de movimiento son

\begin{matrix} (2) & (\begin{matrix} \ddot{X} \\ \ddot{y} \end{matrix}) = - Λ (\begin{matrix} X \\ y \end{matrix}), Λ := (\begin{matrix} \frac{k}{metro} & \frac{k}{metro} \\ \frac{k}{METRO} & \frac{k}{METRO} \end{matrix}) . \end{matrix}

$\tag{2} \begin{pmatrix}\ddot{x} \\ \ddot{y}\end{pmatrix} ~=~- \Lambda \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}, \qquad \Lambda ~:=~ \begin{pmatrix}\frac{k}{m}&\frac{\kappa}{m} \\ \frac{\kappa}{M} &\frac{K}{M} \end{pmatrix}.$

Curiosamente, el verdadero $2\times 2$ matriz $\Lambda$ no es simétrica si $m\neq M$ . Los dos valores propios de $\Lambda$ Son reales

\begin{matrix} (3) & λ_{\pm} = \frac{t r (METRO)}{2} \pm \sqrt{Δ}, \end{matrix}

$\tag{3} \lambda_{\pm} ~=~ \frac{{\rm tr}(M)}{2} \pm \sqrt{\Delta},$

\begin{matrix} (4) & Δ := {(\frac{t r (METRO)}{2})}^{2} - det (METRO) \geq 0. \end{matrix}

$\tag{4} \Delta~:=~\left(\frac{{\rm tr}(M)}{2}\right)^2-\det(M)~\geq~0.$

Si la matriz $T$ diagonaliza la matriz

\begin{matrix} (5) & Λ = T D T^{- 1}, D := (\begin{matrix} λ_{+} & 0 \\ 0 & λ_{-} \end{matrix}), \end{matrix}

$\tag{5}\Lambda~=~TDT^{-1}, \qquad D ~:=~ \begin{pmatrix}\lambda_+&0\\ 0 &\lambda_- \end{pmatrix},$

luego definir nuevas variables

\begin{matrix} (6) & (\begin{matrix} X_{+} \\ X_{-} \end{matrix}) = T^{- 1} (\begin{matrix} X \\ y \end{matrix}) . \end{matrix}

$\tag{6} \begin{pmatrix}x_+ \\ x_-\end{pmatrix} ~=~T^{-1} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}.$

Entonces las ecuaciones de movimiento son

\begin{matrix} (7) & {\ddot{X}}_{\pm} = - λ_{\pm} X_{\pm}, \end{matrix}

$\tag{7} \ddot{x}_{\pm}~=~-\lambda_{\pm} x_{\pm},$

con lagrangiano

\begin{matrix} (8) & \tilde{L} = \sum_{\pm} \frac{{metro}_{\pm}}{2} ({\dot{X}}_{\pm}^{2} - λ_{\pm} X_{\pm}^{2}), \end{matrix}

$\tag{8} \tilde{L}~=~\sum_{\pm} \frac{m_{\pm}}{2}\left(\dot{x}^2_{\pm} - \lambda_{\pm} x^2_{\pm} \right),$

donde las masas $m_{\pm}$ depende de los parámetros de la teoría.

♦ Gracias por tu respuesta. Has dado las ecuaciones clásicas de movimiento usando coordenadas normales. Pero no me interesa cómo resolver los osciladores armónicos clásicos, sino que aquí lo que me interesa es el concepto de Lagrangiano efectivo , ya sea versión cuántica o versión clásica.
El método de coordenadas normales también funciona mecánicamente cuánticamente.
♦ Sí. Y me pregunto si podríamos definir un Lagrangiano efectivo que contenga solo el campo eléctrico $E$ desde el punto de vista clásico? Gracias.

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