Pregunta sobre la gravedad en 1 dimensión.

newtoniano _ Primero debemos notar que en la ley del cuadrado inverso de Newton para la gravedad$F\propto 1/r^2$el poder 2 es realmente$D-1$, dónde$D$es la dimensión del espacio. Así que en el caso 1D la fuerza$F$entre dos masas puntuales es independiente de la separación entre ellas:

$$m_1 \ddot{x}_1 = G m_1 m_2\, \mathop{\mathrm{sgn}}(x_2-x_1).$$ Por lo tanto, la forma cerrada de la ecuación para la separación $d$es $$\ddot{d} = - G (m_1+m_2).$$ Esto simplemente da la parábola conocida del movimiento en un campo de aceleración constante.

Gravedad newtoniana + relatividad especial . Este no es un modelo internamente consistente. Aquí explico por qué esto es así.

Relatividad general . GR en una dimensión (o, para ser más precisos, 1+1 dimensión, donde +1 denota tiempo) es realmente simple: las ecuaciones de Einstein para el espacio vacío significan que el espacio-tiempo debe ser localmente plano. Entonces, no hay fuerza gravitacional entre dos masas puntuales, y continuarían moviéndose a velocidades constantes.

Dilatón gravedad . En lugar de la relatividad general 'ordinaria', un modelo de 'juguete' muy interesante para las fuerzas gravitacionales en 1+1 dimensiones es la gravedad de dilatón , que proporciona muchas características interesantes de la relatividad general de dimensiones superiores, incluidos los agujeros negros y la atracción gravitatoria entre fuentes puntuales. Hay, de hecho, varios modelos de gravedad de dilatación 1+1 relacionados con varias opciones para términos como potencial de dilatación. Si está familiarizado con GR, lo remito a la revisión hep-th/0204253 para obtener información adicional.

Ahora, el movimiento de las masas puntuales en esta gravedad de dilatación es una pregunta bastante interesante. Resulta que el problema de los dos cuerpos en dicho modelo permite un tratamiento relativista general explícito y produce resultados. Los cálculos se pueden encontrar en el documento:

Mann, RB y Ohta, T. (1997). Solución exacta para el movimiento relativista de dos cuerpos en la gravedad de dilatación . Gravedad clásica y cuántica, 14(5), 1259. arXiv:gr-qc/9607016 .

y un documento de seguimiento:

Mann, RB, Robbins, D. y Ohta, T. (1999). Movimiento relativista exacto de dos cuerpos en gravedad lineal . Cartas de revisión física, 82(19), 3738. arXiv:gr-qc/9811061

Aunque las soluciones son 'exactas', las ecuaciones son bastante difíciles de manejar y en términos de la función Lambert W , sin embargo, los documentos anteriores tienen cifras como esta gráfica de separación frente al tiempo adecuado para varias masas (masas más pequeñas significan una solución más relativista) :