Pregunta sobre la ecuación de Jean y el teorema de Liouville

Question

Pregunta sobre la ecuación de Jean y el teorema de Liouville

Física
espacio de fase
Teoría cinética
mecánica estadística

OTRO

TL;RD

Es esto cierto:

\int F (X, v) d^{3} X d^{3} v = \int F (mi, L) d mi d L ?

$\int f(\mathbf{x},\mathbf{v})d^3 x d^3 v = \int f(E,L) dE dL \, ?$

Introducción

Una de las cosas comunes que se hace en, por ejemplo, el libro de Binney y Tremaine es transformar entre $f(\mathbf{x},\mathbf{v})$ y $f(E,L)$ , dónde $E$ y $L$ son la energía orbital y el momento angular (constantes de movimiento a lo largo de las trayectorias de las partículas).

Solicitud

En, por ejemplo , aquí , utilizan la expresión de densidad de espacio de fase $f(E,L)$ para recuperar la densidad

ρ = \int F (X, v) d^{3} v = \int j F (mi, L) d mi d L

$\rho = \int f(\mathbf{x},\mathbf{v}) d^3 v = \int J f(E,L) dE dL$

dónde $J$ es alguna matriz jacobiana para relacionar $d^3v$ y $dE dL$ .

Sin embargo, ahora no me queda muy claro si ambos $f(E,L)$ y $f(\mathbf{x},\mathbf{v})$ se normalizan de la misma manera. ¿Debería la integración sobre todos los "estados" dar el mismo resultado?

En otras palabras, es cierto lo siguiente:

\int F (X, v) d^{3} X d^{3} v = \int F (mi, L) d mi d L

$\int f(\mathbf{x},\mathbf{v})d^3 x d^3 v = \int f(E,L) dE dL$ ¿O debería haber un jacobiano también?

honeste_vivere

¿Cuáles son las unidades de J? ¿Es la matriz o su determinante? Si es lo último, supongo que tiene unidades de volumen inverso, por lo que es apropiado.

OTRO

Hola @honeste_vivere ; J es el determinante jacobiano

honeste_vivere

Entonces creo que eso resuelve el problema de la unidad.

Respuestas (1)

Pregunta sobre la ecuación de Jean y el teorema de Liouville

¿Cuáles son las unidades de J? ¿Es la matriz o su determinante? Si es lo último, supongo que tiene unidades de volumen inverso, por lo que es apropiado.

honeste_vivere · Answer 1

La siguiente expresión:

ρ = \int F (X, v) d^{3} v = \int j gramo (mi, L) d mi d L

$\rho = \int \ f\left(\mathbf{x},\mathbf{v}\right) d^{3}v = \int \ J \ g\left(E,L\right) \ dE \ dL$ está bien y es consistente con:

\int F (X, v) d^{3} X d^{3} v = \int gramo (mi, L) d mi d L

$\int \ f\left(\mathbf{x},\mathbf{v}\right) \ d^{3}x \ d^{3}v = \int \ g\left(E,L\right) \ dE \ dL$ porque

J

$J$ es el determinante del jacobiano , lo que significa que habrá factores de la forma

(\partial / \partial x_{i} \partial / \partial x_{j} \partial / \partial x_{k})

$\left(\partial/\partial x_{i} \ \partial/\partial x_{j} \ \partial/\partial x_{k}\right)$ en cada término del determinante.

las unidades de la $\left(\partial/\partial x_{i} \ \partial/\partial x_{j} \ \partial/\partial x_{k}\right)$ términos son proporcionales al volumen inverso. las unidades de $\ f\left(\mathbf{x},\mathbf{v}\right)$ son $\left[ \# \ s^{3} \ m^{-6} \right]$ y las unidades de $\ g\left(E,L\right)$ son $\left[ \# \ s^{2} \ m^{-3} \ kg^{-1}\right]$ .

Por lo tanto, no hay nada de malo con ninguna de las versiones integrales. Sin embargo, como señaló @BobBee, debería ser $\ g\left(E,L\right)$ no $\ f\left(\mathbf{x},\mathbf{v}\right)$ en el $dE \ dL$ integral.

Ya veo, ¿entonces estás diciendo que los dos determinantes jacobianos se cancelan?
Pero no sería el determinante de $d^3v$ contribuir como $\frac{\partial E}{\partial v}$ ?
Debo agregar que la forma anterior solo es válida para casos no relativistas. ¿Cancelar? No, estaba mostrando que las unidades están bien entre las dos versiones. Realicé este ejercicio en la escuela de posgrado y recuerdo (aunque vagamente) esas dos versiones.
No he calculado esto, pero si J tiene las unidades correctas o no, y suponiendo que f en ambas ecuaciones realmente significa que f de X y v son iguales a g de E y L (es decir, diferentes funciones de sus argumentos pero el mismo resultado numérico de argumentos equivalentes) y que g es realmente lo que quiere decir en el lado derecho de cualquier ecuación, la verdadera pregunta es si J = 1? De lo contrario, no veo cómo los dos podrían ser iguales. ¿Qué me estoy perdiendo si la respuesta publicada es correcta?
@BobBee: veo lo que quieres decir y sí, tienes razón. El cambio en los argumentos de la función se deriva de qué parámetros son una constante de movimiento. Se utiliza un tipo similar de enfoque para modelar las partículas del cinturón de radiación que se encuentran en órbitas relativamente estables de rebote/deriva/giratoria.

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OTRO

honeste_vivere

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honeste_vivere

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honeste_vivere

bob abeja

honeste_vivere

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