Condición de Calabi-Yau, módulos y ecuación de Lichnerowicz

los mas generales$\delta g_{mn}$que preservan la planitud de Ricci en los fondos originales de Calabi-Yau es la suma de varios componentes: los difeomorfismos infinitesimales puros (no los discutiré porque son físicamente vacíos y triviales); cambios de los módulos de Kähler; y cambios de la estructura compleja.

Un triple de Calabi-Yau tiene$h_{1,1}$parámetros reales que describen los módulos de Kähler (se vuelven complejos cuando el$B$-campo de dos formas se agrega en la teoría de cuerdas tipo II) y$h_{1,2}$parámetros complejos que describen los módulos de estructura compleja. Estos dos enteros se intercambian por la variedad relacionada por la simetría especular.

Los módulos de Kähler describen diferentes formas de elegir la métrica plana de Ricci en la variedad que son compatibles con una estructura compleja fija y dada. Las diferentes soluciones pueden derivarse localmente del potencial de Kähler$K$que puede tener muchas formas. Estos módulos describen efectivamente las áreas apropiadas de 2 ciclos.

Las deformaciones de la estructura compleja cambian la estructura compleja, y el espinor correspondiente, pero la nueva variedad deformada todavía tiene una estructura compleja, ¡solo que una diferente! La métrica después de una variación infinitesimal tendría un componente no hermitiano con respecto a la antigua estructura compleja, pero con respecto a la nueva estructura compleja deformada, ¡todavía es perfectamente hermitiana! Calabi-Yaus son siempre Kähler,$SU(3)$(para 6 dimensiones reales) variedades complejas con una métrica puramente hermitiana en unas coordenadas complejas apropiadas, y una deformación aún mantiene la variedad en el conjunto de Calabi-Yaus.

El ejemplo más simple para probar su$\delta g_{mn}$la intuición es Calabi-Yaus de 1 dimensión compleja o 2 dimensiones reales, dos toros. La estructura compleja está cambiando las proporciones de los dos períodos y el ángulo entre ellos, es decir, el$\tau$parámetro de estructura compleja. El módulo de Kähler es el área total de los dos toros: la escala general de toda la métrica bidimensional. Puede ver fácilmente que todas estas transformaciones mantienen la variedad plana y, por lo tanto, Ricci-plana.