Pregunta sobre diferenciabilidad compleja

¿Qué es exactamente lo que quieres probar? Es una definición, no una afirmación. Dice "si esto es cierto, entonces$f$es diferenciable en$a$". Es decir, el "inverso" no necesita prueba, ya que es una definición. Sin embargo, agregaré esta respuesta para mostrar por qué es la definición correcta o natural. Recuerde la definición más básica de diferenciabilidad en$\mathbb{R}$.$f$se dice que es diferenciable en$a$si hay un numero real$df$tal que es el límite de:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ cuando$h \rightarrow 0$. Si desea ampliar una definición, debe basarse en esta. Sin embargo, el problema con esta forma es que para muchos objetos, la existencia de una inversa no está garantizada. Debido a esto, manipulamos la expresión para dar $$df=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \iff\\ df=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-R(h)\\f(a+h)=f(a)+hdf+hR(h)$$ Dónde$R$es una función continua que desaparece en$h=0$. Entonces, siempre que se cumpla esta condición, su función es diferenciable en ese punto. Para números complejos es lo mismo. De hecho,$\mathbb{C}$es un campo, que garantiza un inverso para cada número complejo excepto el cero, por lo que incluso podría usar esa relación como definición que nos enseñaron en primer lugar.