Pregunta de teoría de juegos sobre una variante de Nim

Alice y Bob están jugando una variante del juego de Nim. Hay$n$pilas que consisten en$a, b, c,\cdots$monedas respectivamente. En un movimiento, un jugador puede quitar un número cuadrado de monedas de cualquier pila; por ejemplo, uno puede quitar$1,4,9,\cdots$monedas de cualquiera de las pilas en un solo movimiento. No se permiten movimientos vacíos. El jugador que no puede moverse pierde. Supongamos que Alice va primero. Determine la condición de que Alice gane, así como elabore una estrategia ganadora para él. Suponga que ambos jugadores juegan de manera óptima.

Aquí están mis esfuerzos:

Definir un conjunto$G_n$formado por todas las particiones posibles de un número$n$en cuadrados. Por ejemplo,

Ahora, si solo hay una pila, entonces la pila puede aproximarse a cero en algún orden, digamos$P$, entonces$P\in G$por definición de$G$. Digamos el número total de números en un camino$P$será$n(P)$. En un juego de una pila, Alicia gana si$n(P)$es impar, de lo contrario, Bob gana.

Del mismo modo, en un$n$-juego de pila, Alicia gana si la suma de los valores de$n(P)$porque cada pila es impar, de lo contrario, Bob gana.

Ahora, en un juego de una pila, la estrategia de Alicia debería ser elegir ese$P\in G$que tiene los números más grandes, porque si elige números más pequeños, Bob puede romper su camino.

Pero soy incapaz de encontrar una estrategia para él donde$n> 1$. ¿Puede alguien ayudarme?