Invariancia de Lorentz de la ley de fuerza de Lorentz

Question

Invariancia de Lorentz de la ley de fuerza de Lorentz

Átomo

Estoy estudiando por mi cuenta el libro de Friedman y Susskind sobre la relatividad especial y la teoría clásica de campos . La siguiente pregunta apareció mientras leía la sección 6.3.4 Ecuaciones invariantes de Lorentz .

En esta lección, derivan la ley de fuerza de Lorentz del Lagrangiano dado por

\begin{matrix} (6.13) & L (t, X^{i}, {\dot{X}}^{i}) = - metro \sqrt{1 - ({\dot{X}}^{i})^{2}} + mi {\dot{X}}^{m} A_{m} (t, X^{i}), \end{matrix}

$\mathcal L(t, X^i, \dot X^i) = -m\sqrt{1-(\dot X^i)^2} + e\dot X^\mu A_\mu(t, X^i),\tag{6.13}$ dónde

A

$A$ es un campo de 4 vectores. Ahora resolviendo las ecuaciones de Euler-Lagrange, obtienen

\begin{matrix} (6.34) & metro \frac{d {tu}_{m}}{d τ} = mi F_{m v} {tu}^{v}, \end{matrix}

$m {dU_\mu\over d\tau} = e F_{\mu\nu}U^\nu,\tag{6.34}$ para cada

μ

$\mu$ . Aquí,

U

$U$ es la 4-velocidad y

F_{μ ν} := \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}

$F_{\mu\nu}:=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ para todos

μ, ν

$\mu, \nu$ . Además, se ha utilizado la notación de suma de Einstein.

Ahora, afirman que esta ecuación es "manifiestamente invariante" bajo las transformaciones de Lorentz y dan la razón de que "todos los objetos en las ecuaciones son 4 vectores y todos los índices repetidos están adecuadamente contraídos". No entiendo nada de esto.

Pregunta: Creo que para mostrar la invariancia de Lorentz de cualquier ecuación, una forma es simplemente asegurarse de que todas las cantidades que aparecen en la ecuación sean escalares o 4 vectores. Por lo tanto, para la ecuación anterior, necesitamos mostrar que el complejo de cuatro números $(F_{\mu\nu} U^\nu)_{\mu = 0}^3$ es de hecho un vector de 4 ( es decir , de hecho se transforma como un vector de 4 en un impulso de Lorentz en $x$ -dirección, y bajo rotaciones espaciales).

Pero estoy atascado en probar esto. Cualquier ayuda es apreciada.

Respuestas (2)

Invariancia de Lorentz de la ley de fuerza de Lorentz

ohneVal · Answer 1

Debe dividir el argumento redactado en dos partes.

Parte 1: "Todos los objetos que aparecen en la ecuación son 4 vectores o tensores de Lorentz"

Parte 2: "Si la parte 1 se cumple y los índices se contraen, se obtienen las cantidades covariantes de Lorentz"

Intentaré reformular lo que se va a mostrar. Se dice que una ecuación es (Lorentz) covariante si bajo una transformación arbitraria de Lorentz la forma funcional de la ecuación es la misma. Entonces, primero ataquemos la parte 2 de la declaración, que es más simple. Digamos que comenzamos con cantidades $U_\mu, F_{\mu\nu}$ , que asumimos son un cuadrivector y un tensor de Lorentz. Primero recordemos la propiedad definitoria de una transformación de Lorentz, $\Lambda^\mu_{\;\;\nu}$ :

η_{m v} Λ_{α}^{m} Λ_{β}^{v} = η_{α β}

$\eta_{\mu\nu} \Lambda^{\mu}_{\;\;\alpha} \Lambda^\nu_{\;\;\beta} = \eta_{\alpha\beta}$ dónde

η

$\eta$ es la métrica de Minkowski. Entonces tenemos que los 4-vectores y los tensores (Lorentz) se transforman así:

{tu}^{' m} = Λ_{v}^{m} {tu}^{v}

$U'^\mu = \Lambda^\mu_{\;\;\nu}U^\nu$ y

F_{m v}^{'} = Λ_{m}^{α} Λ_{v}^{β} F_{α β} = Λ_{m}^{α} F_{α β} (Λ^{- 1})_{v}^{β}

$F'_{\mu\nu} = \Lambda_\mu^{\;\;\alpha} \Lambda_\nu^{\;\;\beta}F_{\alpha\beta}= \Lambda_\mu^{\;\;\alpha} F_{\alpha\beta} (\Lambda^{-1})^{\beta}_{\;\;\nu}$ donde hemos usado la notación convencional

Λ_{ν}^{μ} = (Λ^{- 1})_{ν}^{μ}

$\Lambda_\nu^{\;\;\mu} = (\Lambda^{-1})^\mu_{\;\;\nu}$ .

Entonces tomemos su ecuación y apliquemos $\Lambda_\sigma^{\;\;\mu}$ en ambos lados (recuerde que esta transformación de Lorentz no depende de $\tau$ ) e intente reescribir todo en términos de cantidades primas:

\begin{aligned} metro Λ_{σ}^{m} \frac{d {tu}_{m}}{d τ} & = mi Λ_{σ}^{m} F_{m v} {tu}^{v} = mi Λ_{v}^{m} F_{m v} η^{v α} {tu}_{α} \\ metro \frac{d {tu}_{σ}^{'}}{d τ} & = mi Λ_{σ}^{m} F_{m α} η^{v α} ((Λ^{- 1})_{v}^{β} Λ_{β}^{α}) {tu}_{α} \\ metro \frac{d {tu}_{σ}^{'}}{d τ} & = mi (Λ_{σ}^{m} F_{m α} η^{v α} (Λ^{- 1})_{v}^{β}) (Λ_{β}^{α} {tu}_{α}) \\ metro \frac{d {tu}_{σ}^{'}}{d τ} & = mi (Λ_{σ}^{m} F_{m α} η^{v α} Λ_{v}^{β}) {tu}_{β}^{'} \\ metro \frac{d {tu}_{σ}^{'}}{d τ} & = mi (Λ_{σ}^{m} F_{m α} η^{v β} Λ_{v}^{α}) {tu}_{β}^{'} \\ metro \frac{d {tu}_{σ}^{'}}{d τ} & = mi F_{σ v}^{'} η^{v β} {tu}_{β}^{'} = mi F_{σ v}^{'} {tu}^{' v} \end{aligned}

$\begin{align} m \Lambda_\sigma^{\;\;\mu}\frac{{\rm d}U_\mu}{{\rm d}\tau} &= e \Lambda_\sigma^{\;\;\mu} F_{\mu\nu} U^\nu = e \Lambda_\nu^{\;\;\mu} F_{\mu\nu}\eta^{\nu\alpha} U_\alpha\\[7pt] %%% m\frac{{\rm d}U'_\sigma}{{\rm d}\tau} &= e \Lambda_\sigma^{\;\;\mu} F_{\mu\alpha}\eta^{\nu\alpha} ((\Lambda^{-1})^{\beta}_{\;\;\nu} \Lambda^\alpha_{\;\;\beta}) U_\alpha\\[7pt] %%% m\frac{{\rm d}U'_\sigma}{{\rm d}\tau} &= e \Big(\Lambda_\sigma^{\;\;\mu} F_{\mu\alpha}\eta^{\nu\alpha}(\Lambda^{-1})^{\beta}_{\;\;\nu}\Big) \Big(\Lambda^\alpha_{\;\;\beta} U_\alpha\Big)\\[7pt] %%%% m\frac{{\rm d}U'_\sigma}{{\rm d}\tau} &= e \Big(\Lambda_\sigma^{\;\;\mu} F_{\mu\alpha}\eta^{\nu\alpha}\Lambda^{\;\;\beta}_\nu\Big) U'_\beta\\[7pt] %%% m\frac{{\rm d}U'_\sigma}{{\rm d}\tau} &= e \Big(\Lambda_\sigma^{\;\;\mu} F_{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}\Lambda^{\;\;\alpha}_\nu\Big) U'_\beta\\ %%% m\frac{{\rm d}U'_\sigma}{{\rm d}\tau} &= e F'_{\sigma\nu}\eta^{\nu\beta} U'_\beta = e F'_{\sigma\nu} U'^\nu \end{align}$

Donde he insertado una identidad en la segunda línea y en la antepenúltima, utilicé la ecuación definitoria de una transformación de Lorentz. Entonces, como puede ver, la ecuación se ve funcionalmente exactamente igual que antes en las cantidades transformadas (aumentadas o rotadas).

Este "juego" siempre se puede hacer con índices contraídos, por eso las contracciones representan cantidades covariantes (las contracciones completas, es decir, sin índices libres, representan escalares y, por lo tanto, invariantes).

Ahora, para la parte 1, es más complicado mostrar que estos son vectores y tensores de Lorentz bien definidos. La velocidad de cuatro es quizás más simple de entender, si se da cuenta de que una línea de palabra es un objeto geométrico, por lo tanto, independiente de las coordenadas y da un vector tangente bien definido con respecto a su tiempo propio, por lo que debe transformarse como un vector de Lorentz por construcción.

Algo similar se puede decir sobre el tensor de intensidad de campo. Es por construcción formalmente una forma dos antisimétrica. Entonces se transforma como un tensor en general bajo cualquier transformación de coordenadas. Bajo esta vista nuevamente, las transformaciones de Lorentz son solo un cambio de coordenadas específico que respeta la métrica.

Se pueden decir declaraciones más formales sobre ellos profundizando más en la geometría de la teoría, pero creo que con esta información se puede entender lo que se pregunta, es decir, lo que escribí anteriormente demuestra al mismo tiempo por qué. $F_{\mu\nu}U^\nu$ se comporta como un cuadrivector.

¿Puede señalarme algo que explique por qué la propiedad definitoria de una transformación de Lorentz $\Lambda$ es $(\Lambda^{-1})^\mu_{\;\;\alpha}\eta_{\mu\nu}\Lambda^\nu_{\;\;\beta}=\eta_{\alpha\beta}$ ?
Además, dado que solo estoy familiarizado con el libro de Susskind y no tenía antecedentes en tensores antes (excepto solo la página de Wikipedia), ¿puede confirmar si está bien verlo? $\eta_{\mu\nu}$ como el $\mu$ -ésima fila y $\nu$ -entrada de columna en la matriz $\eta$ ?
Además, ¿tiene sentido hablar de $\eta^\mu_{\;\;_\nu}$ o $\Lambda_{\mu\nu}$ ?
Para el primer comentario, tiene que ver con las simetrías del espacio de Minkowski, la métrica se usa para medir distancias y ángulos en una variedad, por lo que una transformación que no cambie la métrica estará asociada a invariantes, genéricamente. Segundo comentario, respuesta corta, sí, pero tenga cuidado al subir y bajar índices, busque "gimnasia de álgebra tensorial" para aprender más y practicar. Para el último comentario, si haces las cosas correctamente esos "objetos" nunca deberían aparecer.
Ahora que me he familiarizado con el cálculo tensorial, creo que en la propiedad definitoria de la transformación de Lorentz, quisiste escribir $\Lambda^T$ y no $\Lambda^{-1}$ . ¿Correcto?
¡Ahora podía entender todo! Y sí, esta fue una buena respuesta, ¡gracias!
Sí, gracias por la corrección, lo editaré. Puedo recomendar los libros de Weinberg si quieres más detalles.

SNP · Answer 2

Solo necesitas un primer contacto $F_{\mu\nu}$ y $U^\mu$ con el índice $\nu$ . Entonces, la derivada se puede contraer con el vector de 4 desde arriba, usando el índice $\mu$ . Eso le da un escalador, que es invariable bajo la transformación de Lorentz.

Lo siento, grande, no entiendo lo que quieres decir con "la derivada se puede contraer con el 4-vector desde arriba, usando el índice $\mu$ .”
Suponiendo que puede llevar la derivada a la derecha (tos tos), entonces puede obtener la $dU_\mu$ en la parte inferior que luego se puede contraer con respecto a la $\mu$ índice.

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