Co y contravariante: ¿tensores o componentes?

Sí, los componentes contravariantes hacen referencia a un objeto geométrico diferente al de los componentes covariantes. Los componentes covariantes son componentes de un vector del espacio dual al espacio vectorial del que provienen los componentes contravariantes. Los dos espacios vectoriales son isomorfos , por lo que podemos identificar elementos contravariantes de vectores con elementos coincidentes de los covectores de su espacio usando un mapa lineal simple o "métrico".

Cuando tratamos con matrices, a menudo identificamos matrices que tienen una columna como vectores y matrices que tienen una fila como covectores. Entonces, la subida y bajada de los índices es análoga a la operación de transposición de la matriz, cuando las componentes del vector son reales. Cuando no son reales, generalmente usamos la transpuesta conjugada compleja para hacer que la longitud de cualquier vector sea un número semidefinido positivo.

En mecánica cuántica, generalmente tratamos los vectores ket como el espacio vectorial y los vectores bra como el espacio covectorial.

Entonces, ¿por qué los llamamos covariante y contravariante? Tiene que ver con el hecho de que queremos que los escalares producidos al aplicar el vector covariante a uno contravariante sean invariantes bajo alguna transformación de simetría (por ejemplo, rotación, transformaciones de Lorentz). Digamos que tenemos un vector contravariante que varía como:

La razón de esta nomenclatura es que nos gusta pensar que los vectores mismos son invariantes bajo la transformación, por lo que escribimos:

Para obtener más información, consulte la sección de formulación tensorial del artículo de transformación de Lorentz de Wikipedia.

Para los sistemas de coordenadas ortogonales, los componentes covariante y contravariante son los mismos. La diferencia aparece cuando tienes sistemas de coordenadas oblicuas. Aquí hay una explicación bastante buena de la diferencia con algunas ilustraciones:

http://www.farmingdale.edu/faculty/peter-nolan/pdf/relativity/Ch04Rel.pdf

Dado que estamos tratando con un espacio métrico de dimensión finita, está bien pensar simplemente en un campo$\mathbf v$y dos bases$\mathbf e_\mu$y$\mathbf e^\nu$tal que$\mathbf e_\mu \cdot \mathbf e^\nu = \delta_\mu^\nu$. Entonces$v^\mu$y$v_\nu$son solo los coeficientes de$\mathbf v$en las dos bases:$\mathbf v = v^\mu \mathbf e_\mu = v_\nu \mathbf e^\nu$.