Precisión y error de los relojes atómicos

Significa que si el reloj comienza a ajustarse a la hora correcta, después de la hora$t$el reloj se atrasara por no mas que$(\pm 10^{-14}) t$.

O como probablemente diría un físico

$$\frac{\delta t}{t} \le 10^{-14} \,.$$

Este tipo de expresión de "errores fraccionarios" es muy común en muchos campos de la ciencia cuantitativa.

---

Ahora, para ser concretos, un año es aproximadamente$3.156 \times 10^7 \,\mathrm{s}$, por lo que después de un año el reloj no se atrasará más que

$$(3.156 \times 10^7 \,\mathrm{s}) \cdot 10^{-14} = 3.156 \times 10^{-7} \,\mathrm{s} = 0.3156 \,\mathrm{\mu s} \,.$$

El error sería del orden de 10^-14. Esto es matemáticamente similar a la sensación de errores que tiene en su reloj de mano, causados ​​por inexactitud mecánica, probablemente en el rango de 1 segundo por semana, o 1 segundo por año si es un Rolex :)

Sin embargo, se debe tener en cuenta que una inexactitud tan pequeña en la medición del tiempo en los relojes atómicos es quizás menor que el error que causarían los efectos relativistas para una persona que pasa mucho tiempo conduciendo. supongamos que la velocidad media entre un observador y un reloj atómico es de 30 m/s, esto daría una dilatación del tiempo relativista de unos 1,5 microsegundos por año, que es mayor que la inexactitud del reloj atómico. Para un piloto, la dilatación del tiempo sería de unos 15 microsegundos por año :)

No entiendo cuál es la precisión de$1$parte en$10^{14}$medio. revisó las definiciones de precisión y error [...]

En las definiciones de "exactitud" o "error", debería haber notado que se menciona

• el verdadero valor de alguna cantidad en particular, con referencia a la(s) prueba(s) bajo consideración, y

• el(los) valor(es) correspondiente(s), conmensurado(s), relativo(s) a la(s) misma(s) prueba(s), cuyo "error" debe calificarse con respecto al valor verdadero.

Si ambos tipos de valores son, por ejemplo, números reales simples (o si están escalados isométricamente a números reales), entonces el "error" del valor a calificar con respecto al valor verdadero es (generalmente) solo su diferencia simple.

Tal diferencia también se puede poner en relación con el rango (o con "una parte sensible y limitada del rango") de valores del operador por el cual se obtuvo el valor verdadero; dando como resultado el error relativo.
La caracterización"$1$parte en$10^{14}$" es una afirmación de (una restricción sobre la magnitud de) error relativo.

Ahora, al evaluar el error (relativo) de un reloj en particular$\mathcal A := (A, \theta)$bajo consideración, en una prueba particular, el valor verdadero aplicable es (simplemente) la duración de este reloj$\tau A[~_{\text{finish}}, {}_{\text{start}}~]$, desde su indicación al inicio del juicio,$A_{\text{start}}$, hasta su indicación al final del ensayo,$A_{\text{finish}}$.
(Si estas indicaciones son distintas, y la duración correspondiente del reloj desde una hasta la otra es, por lo tanto, distinta de cero, entonces esta duración también es un denominador "sensato" para evaluar el error relativo, en esta prueba).

El valor a calificar, en cambio, tiene que ver con las lecturas del reloj$\theta$asignado a las indicaciones del reloj; en particular las lecturas$\theta [~A_{\text{start}}~]$y$\theta [~A_{\text{finish}}~]$.

Como ejemplo concreto, considere una prueba que tomó el reloj para calificar exactamente un año. El error relativo correspondiente, como un valor numérico real, podría entonces (ingenuamente) expresarse como

$$\epsilon := \frac{\theta [~A_{\text{finish}}~] - \theta [~A_{\text{start}}~]}{\tau A[~_{\text{finish}}, {}_{\text{start}}~]} - 1 = \frac{\theta [~A_{\text{finish}}~] - \theta [~A_{\text{start}}~]}{1~\text{year}} - 1.$$

Por supuesto, hay dos problemas con este intento:

• que la fracción (formal)$\frac{\theta [~A_{\text{finish}}~] - \theta [~A_{\text{start}}~]}{1~\text{year}}$debe ser un valor de número real en absoluto.
  En consecuencia, las lecturas del reloj$\theta$podría "entenderse" que incluye alguna "unidad" de duración; por ejemplo ambos$\theta [~A_{\text{start}}~]$y$\theta [~A_{\text{finish}}~]$representando algún número real múltiplo de "$\text{year}$"arena:

• que presupone alguna definición externa a la unidad”$\text{year}$". Si fuera concebible que un reloj dado en un determinado "exactamente$\text{year}$"-largo juicio no había sido perfectamente exacto, por lo que la diferencia"$\theta [~A_{\text{finish}}~] - \theta [~A_{\text{start}}~]$" se designa necesariamente como (una duración de) " no exactamente $1~\text{year}$", entonces esta unidad en particular aparentemente apela a algún artefacto externo (cuya precisión es dudosa en primer lugar).

Pero en Física, requerimos que las definiciones y los valores de los resultados sean independientes de cualquier elección particular de unidades (como "$\text{year}$"), e independiente de las referencias a artefactos únicos (como "La Tierra girando alrededor del Sol"); en su lugar, buscamos definiciones intrínsecas .

Esto se logra principalmente mediante la evaluación del error de un reloj dado en términos de proporciones: para tres indicaciones distintas cualquiera del reloj que se está calificando,$A_M$,$A_P$, y$A_Q$podemos evaluar por separado

$$\frac{\tau A[~_M, {}_P~]}{\tau A[~_M, {}_Q~]}$$

(como el valor verdadero), y

$$\frac{\theta [~A_P~] - \theta [~A_M~]}{\theta [~A_Q~] - \theta [~A_M~]}$$

(como el valor a calificar con respecto al valor real); y en consecuencia podemos evaluar el error relativo (para las tres indicaciones seleccionadas del reloj a calificar) como

$$\epsilon_{\mathcal A}[~{}_{M, P, Q}~] = \frac{\left(\frac{\theta [~A_P~] - \theta [~A_M~]}{\theta [~A_Q~] - \theta [~A_M~]}\right)}{\left(\frac{\tau A[~_M, {}_P~]}{\tau A[~_M, {}_Q~]}\right)} - 1.$$

En consecuencia, un reloj dado es preciso (también conocido como "bueno"), a lo largo de una prueba en consideración, si sus errores para tres indicaciones (distintas) dentro de la prueba son nulos.

Para cuantificar la precisión (finita) del reloj$\mathcal A$que no es (perfectamente) precisa, a lo largo de un ensayo en consideración, es decir, para un conjunto dado$A$de sus indicaciones (posteriores), comenzando con la indicación "marca"$A_M$hasta alguna indicación final (última) particular$A_U$, los físicos pueden usar, por ejemplo, el método de los mínimos cuadrados y determinar la correspondiente "suma$S_{\mathcal A}$de residuos al cuadrado" como

$$S_{ \! \mathcal A } := \sum_{A_{ \mathcal N } \, = A_M}^{A_U} \left( \frac{\tau A[ _M, _{\mathcal N} ]}{\tau A[ _M, _U ]} \right)^2 - \frac{ \left( \sum\limits_{A_{ \mathcal N } \, = A_M}^{A_U} \left( \theta[ A_{ \mathcal N } ] - \theta[ A_M ] \right) \frac{\tau A[ _M, _{\mathcal N} ]}{\tau A[ _M, _U ]} \right)^2 }{\sum\limits_{A_{ \mathcal N } \, = A_M}^{A_U} \left( \theta[ A_{ \mathcal N } ] - \theta[ A_M ] \right)^2 }.$$

Para el reloj en consideración entonces

$$\sqrt{S_{ \! \mathcal A } } \le 10^{-14},$$ o factorizando el común denominador $\tau A[ _M, _U ] := \tau_{ A }$: $$\frac{\delta \tau_{ \mathcal A }}{\tau_{ A }} \le 10^{-14},$$ para cualquier conjunto de indicaciones (subsecuentes) $\mathcal A$del reloj;
dónde $$\delta \tau_{ \mathcal A } := \sqrt{ \sum_{A_{ \mathcal N } \, = A_M}^{A_U} \left( \tau A[ _M, _{\mathcal N} ] \right)^2 - \frac{ \left( \sum\limits_{A_{ \mathcal N } \, = A_M}^{A_U} \left( \theta[ A_{ \mathcal N } ] - \theta[ A_M ] \right) \tau A[ _M, _{\mathcal N} ] \right)^2 }{\sum\limits_{A_{ \mathcal N } \, = A_M}^{A_U} \left( \theta[ A_{ \mathcal N } ] - \theta[ A_M ] \right)^2 } }.$$

¿Significa que los relojes atómicos pueden decirnos la hora con precisión y certeza?$10^{-14}\text s$?

En la práctica, aparentemente no: para los relojes Cs133, por ejemplo, las lecturas aparentes$\theta$son los recuentos de sus "períodos de oscilación"; y hay (idealmente, con precisión) solo$9,192,631,770 \approx 10^{10}$ser contado dentro de la duración de un segundo. Por lo tanto, podría tomar una prueba de varias horas (en el "peor de los casos") para encontrar una diferencia real de un conteo entre un reloj Cs133 cuyo error relativo se encontraría de orden$10^{-14}$a lo largo de un juicio aún mucho más largo, y uno que se encontraría perfectamente exacto.

Del mismo modo, mirando los rastros de$\approx 3 \cdot 10^{17}$recuentos de "períodos de oscilación" (es decir, del orden de un año), la pretensión de "exactitud relativa de$1$parte en$10^{14}$"significa aproximadamente, que los juicios de exactamente la misma duración deberían diferir en unos pocos miles de recuentos como máximo.