¿Por qué los trompos no se caen?

Este es un tema bastante antiguo, pero sentí que podría tener lo que estás buscando.

En respuesta a algunas de las respuestas, usted escribe:

Dado que la aceleración angular siempre es tangencial, esperaría que la parte superior girara en espiral hacia afuera hasta que caiga al suelo.

Absolutamente, eso es lo que debe esperar que suceda. Y lo hace... momentáneamente. La solución final es un poco más complicada que solo una rotación uniforme alrededor del eje vertical.

Para entender esto, imagina que tomas un trompo que acabas de dejar en el momento$t = t_0$en el piso. Ahora, lo que sucede en el siguiente instante es exactamente lo que esperas intuitivamente: la parte superior comienza a caer bajo la influencia de la gravedad y$\phi$(ver figura para la notación) comienza a aumentar pasando de$\phi \rightarrow \phi + \delta \phi$en el momento$t_1$. En consecuencia, el momento angular$\mathbf{L}$de los principales cambios.

Esto es similar a lo que sucede en la segunda figura de la página de hiperfísica, donde$\delta \mathbf{L}$está en la dirección de$\delta \theta$, solo ahora$\delta \mathbf{L}$en la dirección$\delta \phi$y se encuentra en el plano que contiene el eje longitudinal$L_A$de la parte superior y el eje vertical central$V_A$.

Creciente$\phi$reduce el centro de masa de la parte superior y por lo tanto su energía potencial en una cantidad$-\delta U$. Asumiendo la conservación de la energía, esto se traduce en un aumento de la energía cinética.$\delta K$de la parte superior Dado que la parte superior está restringida a tener un momento lineal cero, este$\delta K$contribuye enteramente a la energía de rotación de la peonza.

Tenga en cuenta, sin embargo, que la parte superior ahora gira alrededor de dos ejes diferentes. Un componente es el movimiento giratorio original alrededor de sus propios ejes longitudinales y el otro es la rotación inducida por la gravedad alrededor de la dirección$N_A$ normal al plano que contiene$L_A$y$V_A$. Por lo tanto, los$\delta K$debe dividirse adecuadamente entre estas dos mociones. Veamos cómo sucede esto.

El momento de inercia de la parte superior ($I_A$) alrededor del eje$L_A$es claramente menor que eso ($I_V$) alrededor del eje$N_A$. Esto es cierto para todas las tapas, excepto para las de formas más extrañas. Convénzase usted mismo de que este es el caso. En los circuitos, fluye más corriente a través de caminos con menor resistencia. Asimismo, en mecánica se transfiere más energía al componente con menor inercia. Así la mayor parte de$\delta K$irá a aumentar el momento angular de la parte superior alrededor de su eje longitudinal$L_A$por alguna cantidad$\delta L'$

Ahora bien, la conservación del momento angular requiere que exista un momento de torsión correspondiente a este aumento. El efecto de este par inducido es hacer que la parte superior que cae comience a balancearse hacia arriba. De esta forma, en lugar de una espiral, la punta de la peonza traza algo así como una cicloide en precesión alrededor del eje central.

Sin embargo, el diagrama parece indicar que la parte superior debe estar en precesión en un círculo, no en una espiral.

La trayectoria circular es una idealización sólo lograda en el límite que$\omega_s / \omega_p \rightarrow \infty$, dónde$\omega_s$es la velocidad angular de giro y$\omega_p$es la velocidad angular de precesión. Cualquier top con valores realistas de$\omega_s$y$\omega_p$tendrá un "bamboleo" finito.

¡No habría sabido de esta dinámica bastante elaborada si no fuera por uno de los volúmenes de conferencias de Feynman (la Parte I, creo) donde esta pregunta se considera en gran detalle!

El artículo anterior es un poco ondulado a mano y probablemente haya errores en mi razonamiento. ¡Para obtener el kahuna completo, consulte las conferencias de Feynman!

                          Cheers,

Cuando está girando, su momento angular es bastante alto. Por la conservación del momento angular, la peonza es más estable frente a pequeños pares como la acción de la gravedad sobre la peonza.

El momento angular de la parte superior es$J = I \omega$dónde$I$es el tensor de inercia y$\omega$es el vector de Darboux, cuya magnitud es proporcional a la velocidad de rotación.

Puede encontrar una discusión detallada en esta página de Hiperfísica .

El punto es que los principios de conservación generalmente no son intuitivos. Por ejemplo, ¿por qué se debe conservar la energía? Uno debe tener un control de las dinámicas involucradas para poder entenderlas.

De todos modos, la precesión de la peonza no tiene que ver con la conservación del momento angular. Tiene que ver con la extraña naturaleza del torque y su interacción con el momento angular. Cuando una fuerza actúa sobre una peonza, extrae un par perpendicular al plano definido por el eje de la peonza y la dirección de la gravedad, que es un plano vertical. Esa dirección es horizontal. Por otro lado, el par es la tasa de cambio del momento angular. Eso significa que la dirección del par es la dirección hacia la cual cambia el vector de momento angular. Por lo tanto, dado que el momento de torsión es horizontal y perpendicular al momento angular, solo puede cambiar la dirección del momento angular a lo largo de la dirección horizontal y no hacia el suelo. Eso significa que el vector de momento angular está de espaldas al suelo, en el punto en que la punta de la peonza toca el suelo, y su cabeza está haciendo un círculo en un plano paralelo al suelo. Ese movimiento es la precesión de la peonza.

Finalmente, creo que la razón para suponer una rotación mucho más rápida que la precesión para la peonza es simplificar los cálculos y considerar la peonza como un giroscopio.

cuando la masa gira, tiene un momento angular que apunta en una dirección perpendicular al plano en el que gira.

El momento angular tiene que ser conservado: es decir, tiene que seguir apuntando en la dirección plano-perpendicular. Como dijo cedric, la gravedad trabaja para que el eje de la masa giratoria caiga horizontalmente sobre el plano: si esto sucede, ¡también el momento angular en cuanto al par! y esto no es conveniente desde el punto de vista de la conservación de energía.

Entonces puedes considerar que la magnitud del momento angular es proporcional a la velocidad de giro: así que a medida que la velocidad de giro aumenta, a falta de una palabra mejor, "más fácil" para la peonza resistir la gravedad.

¡Si tratas de hacer girar un trompo en un plano inclinado, necesitarás hacerlo más rápido para obtener la misma "resistencia a la gravedad"!

La respuesta rápida es que, para que la peonza se caiga debido a la gravedad, cada fragmento de la peonza que se mueve alrededor del eje de giro tiene que cambiar su dirección de movimiento individual. Ya están cambiando de dirección alrededor del eje de giro, debido a la rigidez de la peonza que los mantiene moviéndose en círculo. Pero la gravedad está operando a 90º de su dirección de movimiento, y su efecto depende de la velocidad o inercia del fragmento. Para una peonza que gira rápidamente, este ligero cambio de dirección es lo que causa la precesión de la peonza. Y a medida que disminuye la velocidad, el efecto de la gravedad tiene más efecto y se cae. Es una situación similar a cambiar la órbita de un satélite con propulsores laterales.

De su artículo vinculado :

Haga girar un trompo sobre una superficie plana y verá que su extremo superior gira lentamente en dirección vertical, un proceso llamado precesión. A medida que el giro de la peonza se ralentiza, verá que esta precesión se vuelve cada vez más rápida. Luego comienza a moverse hacia arriba y hacia abajo a medida que avanza y finalmente se cae .

El dibujo muestra un círculo en lugar de una espiral debido a que se omitieron variables como la fricción y la gravedad.

Este es un buen ejemplo que muestra que la comprensión no se produce automáticamente después de completar un cálculo. Pero el cálculo sigue siendo la guía (quizás la más) importante. Nadie en lo anterior ha mencionado las discusiones dadas en \ittext{Landau & Lifshitz, Mechanics (BH, 3rd ed.), página 112}. Creo que estas discusiones ya han aclarado el tema. Desafortunadamente, procedieron usando ángulos de Euler. He reformulado sus discusiones aquí . Espero que ayude.