Potenciales en QM vs. Mecánica Clásica

Tienes razón en que las soluciones no salen exactamente iguales. Sin embargo, si observamos la ecuación de Schrödinger con la constante añadida,

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = (\hat H+C)|\psi\rangle$$

notamos que si dejamos

$$|\psi\rangle = e^{-iCt/\hbar}|\psi'\rangle$$

entonces la ecuación de Schrödinger se convierte en

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = e^{-iCt/\hbar}\cdot i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi'\rangle +Ce^{-iCt/\hbar}|\psi'\rangle= (\hat H+C)e^{-iCt/\hbar}|\psi'\rangle$$

Lo que simplifica a

$$i \hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi'\rangle = \hat H |\psi'\rangle$$

En otras palabras, cambiando la energía por alguna constante$C$es equivalente a multiplicar todos los estados por el factor de fase$e^{-iCt/\hbar}$. Debido a que este factor unitario se aplica a todos los estados, se cancela en todos los cálculos físicos (por ejemplo, los valores esperados) y, por lo tanto, no afecta las predicciones de la teoría.

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La física clásica es insensible a los cambios en la energía potencial porque las cantidades físicas medibles dependen solo de las derivadas del potencial. De manera similar, la mecánica cuántica es insensible a los cambios en la energía potencial porque las cantidades físicas medibles dependen solo de los productos internos entre estados y la transformación inducida por el cambio de potencial ($|\psi\rangle \rightarrow e^{-iCt/\hbar}|\psi\rangle$) es unitario , lo que significa que deja los productos internos sin cambios. Ambos son ejemplos particulares de la noción más general de invariancia de calibre .

Los potenciales en QM y en mecánica clásica son exactamente iguales. De hecho, una de las razones por las que se prefiere la mecánica clásica en el formalismo lagrangiano o hamiltoniano (ambos basados ​​en el potencial) al formalismo newtoniano (que incorpora el concepto de fuerza) es porque las mismas ecuaciones gobernantes se generalizan para la mayoría de los problemas y también allanan el camino. fácil transición a QM.

Veamos el espectro de los dos operadores hamiltonianos, consideremos$H = T + V$con valores propios$\{E_n\}$y estados propios$\{ \psi_n \}$

$$H \psi_n = E_n \psi_n$$ Ahora considere la acción del nuevo hamiltoniano (con potencial desplazado) $H' = H + C$sobre el $\psi_n$ $$H'\psi_n = (H + C)\psi_n = E_n \psi_n + C\psi_n = (E_n + C)\psi_n$$ lo que equivale a decir que los autovalores, que son las posibles medidas de energía, correspondientes a la nueva referencia de potencial son $$E_n' = E_n + C$$ que es lo que esperarías en el escenario clásico.