Aproximación de la serie de Taylor para un oscilador armónico

La energía potencial elástica se define como

V ( X ) = 1 2 k X 2 .

Entonces supongamos que el punto X = X 0 es el punto de un mínimo local.

Sabemos que cualquier potencial sobre un mínimo local se puede aproximar razonablemente bien.

Citando del libro "Introducción a la Mecánica Cuántica de David Griffiths":

Formalmente, si ampliamos V ( X ) en la serie de Taylor sobre el mínimo, V ( X ) = V ( X 0 ) + V ′ ( X 0 ) ( X − X 0 ) + 1 2 V " ( X ) ( X − X 0 ) 2 + . . .

el va a dice

Sustraer V ( X 0 ) ( puede agregar una constante a V ( X ) con impunidad, ya que eso no cambia la fuerza )

Tengo problemas para entender por qué agregar una constante a V ( X ) no cambia la energía potencial elástica. ¿Es porque V ( X 0 ) es tan pequeño que se vuelve insignificante?

No: es porque la fuerza es el gradiente de la energía potencial, por lo que el término constante desaparece al tomar la derivada. Esta es una afirmación exacta, no aproximada. Entonces, por lo tanto, un desplazamiento constante no cambia el comportamiento resultante.
¿No es la fuerza el negativo del gradiente de la energía potencial?
@march Veo lo que está pasando. Salud
Escribiendo en un teléfono. Quería conservar cartas. Aunque la conclusión es la misma.
@march Eso probablemente debería ser una respuesta.
@Danu. Lo haré pronto.

Respuestas (2)

Primero abordando una parte de la pregunta: cambiar la energía potencial obviamente cambia la energía potencial; simplemente no cambia el comportamiento del sistema en absoluto. A continuación se dan explicaciones para los casos clásico y cuántico.

En la mecánica clásica, el comportamiento de un sistema no cambia cuando la energía potencial cambia en una cantidad constante. La demostración sencilla es la siguiente. El comportamiento cinemático está determinado por fuerzas, y la fuerza es el gradiente negativo de la energía potencial. Por lo tanto, cualquier término de compensación constante desaparece al tomar derivados:

F = − ∇ → ( tu ( X ) + C ) = − ∇ → tu ( X ) − ∇ → C = − ∇ → tu ( X )

En mecánica cuántica tenemos la misma situación, pero la prueba es muy diferente. Considere un hamiltoniano H y agregue un desplazamiento constante, produciendo un segundo hamiltoniano H ′ = H + C . Decir que el comportamiento del sistema es el mismo es decir que todos los valores esperados son los mismos en los dos casos. Así que considere lo siguiente. Suponer | ψ ′ ( t ) ⟩ satisface la ecuación de Schrödinger (estableciendo ℏ = 1 )

i ∂ ∂ t | ψ ′ ( t ) ⟩ = ( H + C ) | ψ ′ ( t ) ⟩ .
Definir un estado transformado por
| ψ ( t ) ⟩ = mi − i C t | ψ ′ ( t ) ⟩ .
Es sencillo mostrar (mediante el uso de la regla de la cadena en el lado izquierdo de la ecuación de Schrödinger), que | ψ ( t ) ⟩ satisface
i ∂ ∂ t | ψ ( t ) ⟩ = H | ψ ( t ) ⟩ .
Finalmente, si tomamos valores esperados de un valor arbitrario A ^ ,
⟨ ψ ′ ( t ) | A ^ | ψ ′ ( t ) ⟩ = ⟨ ψ ( t ) | mi i C t A ^ mi − i C t | ψ ( t ) ⟩ = ⟨ ψ ( t ) | A ^ | ψ ( t ) ⟩ ,
de modo que los valores esperados de estos dos estados son los mismos, aunque satisfagan ecuaciones de Schrödinger ligeramente diferentes. Por lo tanto, obtenemos el mismo comportamiento, y por lo tanto H y H + C son hamiltonianos equivalentes, siendo el segundo simplemente un cambio del primero.

porque F=-dV/dx, agregar una constante C a V no cambia la fuerza

Aproximación de la serie de Taylor para un oscilador armónico
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